Fundamentos de Control Realimentado Clase 17 - Versión 1 - 2018 Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre 2018. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Este es un Power Point Show realizado en Power Point 2010

Traslación de un Controlador Analógico 2 Traslación de un Controlador Analógico a un Controlador Homólogo Digital Contenido: Introducción Estructura de un Sistema de Control Analógico implementado Digitalmente Transformación de Tustin (Trapezoidal o Bilineal) Periodo de muestreo vs. Performance/Estabilidad Ejemplo de Diseño

Traslación de un Controlador Analógico 3 FCR Mario Jordán Traslación de un Controlador Analógico a un homólogo Digital El punto de partida es un Controlador diseñado en el dominio de la variable de Laplace s, es decir: D(s) para una planta G(s) Para ello se usa cualquiera de las Herramientas de Diseño a disposición, por ejemplo: Criterio de Routh, Especificaciones Temporales, Lugar de la Raíces, Diagrama de Nyquist, Diagramas de Bode, Asignación de Polos, entre otros. Sin embargo, la implementación del controlador debe adaptarse a una estructura digital entre sensores y planta con señales muestreadas en el tiempo La pregunta que emerge ahora es si el diseño de D(s) sirve y se lo puede emplear directamente o hay que rediseñar el controlador en el dominio de los sistemas muestreados, es decir en el dominio z. Ambas cosas son posibles, sin embargo la alternativa más sencilla y significativa para este Curso es la primera, o sea la traslación directa del diseño analógico al digital, o lo que es lo mismo, traslación de D(s) a D(z).

- Controlador Digital - Sistema de Control Analógico Y(s) R(s) G(s) 4 Sistema de Control Analógico FCR Mario Jordán G(s) D(s) Y(s) R(s) U(s) E(s) - H(s) Controlador Analógico Sensor Planta D(s) Relación entre z y s Sistema de Control Digital Equivalente z = esTs A/D Y(s) R(s) E(z) E(s) - H(s) D(z) D/A U(s) U(z) reloj Controlador Digital Sensor Planta Conversor & retenedor G(s) Controlador Digital

Controlador Digital Un controlador D(z) homólogo a D(s) e(t) u(t) Entrada en tiempo Continuo t Salida en continuo A/D e(k) D(z) D/A u(k) Controlador Digital Conversor & retenedor Reloj Tiempo de Muestreo Ts (en seg.) e(t) u(t) Controlador Digital t e(t) Señal de error en tiempo continuo k e(k) Señal de error muestreada k u(k) Acción de control generada digitalmente t u(t) Retenedor de orden cero Acción de Control continua Para cada período de muestreo Ts existirá un controlador homólogo D(z) Algunos de ellos serán estabilizantes y otros no, dependiendo de Ts Por lo tanto, los controladores homólogos forman una familia D(z;Ts)

FCR Mario Jordán Método de Traslación A fin de encontrar una relación entre el dominio de la variable de Laplace s y el dominio de la variable de muestreo (variable discreta z), emplearemos un método de inducción a partir de un ejemplo de un controlador particular, por ejemplo un PID, cuya expresión es: u(t) = kP e(t) + kI e(t) dt + kD de(t)/dt  t U(s) = (kP + kI / s + kD s) E(s) . Supongamos que muestreamos e(t) y u(t) a un ritmo constante con un periodo de muestreo Ts. Luego el término proporcional resulta en la muestra número k: uP(kTs) = kP e(kTs) . Siguiendo con el término integral para la muestra número k+1:

   Método de Traslación 7 kI e(t) dt uI(kTs+Ts) = e(t) kI e(t) dt + FCR Mario Jordán Método de Traslación kI e(t) dt  kTs+Ts t e(t) uI(kTs+Ts) = kI e(t) dt +  kTs = kI e(t) dt kTs +Ts  kTs kTs (k+1)Ts = uI(kTs) + kI (Ts/2) [e(kTs+Ts) + e(kTs)] Aproximación de área debajo de la curva de e(t) en un periodo Ts, es decir, se toma un área trapezoidal con el promedio de sus muestras. Finalmente el término derivativo para la muestra número k+1. Observando que la derivación es la operación inversa de la integración, se puede reemplazar el rol de u(t) por el de e(t) en la ecuación anterior para obtener la expresión: (Ts/2) [uD(kTs+Ts) + uD(kTs)] = kD [e(kTs+Ts) - e(kTs)] .

Método de Traslación Z {u(kTs+Ts)} = z U(z), donde U(z)=Z {u(kTs)} 8 FCR Mario Jordán Método de Traslación Definimos ahora un operador z de desplazamiento hacia delante como aquel que responde a la siguiente transformación: Z {u(kTs+Ts)} = z U(z), donde U(z)=Z {u(kTs)} donde Z indica una transformación sobre las señales muestreadas o sistemas discretos. Entonces z un operador que adelanta el tiempo en un paso de muestreo Ts. Así, transformando en el dominio z a: uP(kTs), uI(kTs) y uD(kTs) se obtienen las ecuaciones de los 3 componentes de un PID, a saber: UP(z) = kP E(z) zUI(z) = UI(z) + kI (Ts/2) [zE(z) + E(z)] (Ts/2) [zUD(z) + UD(z)]= kD [zE(z) - E(z)]

9 FCR Mario Jordán Método de Traslación Finalmente U(z) es la suma de sus componentes transformadas: UP(z) = kP E(z) UI(z) = kI E(z) z + 1 z - 1 2 Ts UD(z) = kD E(z) z - 1 z + 1 Ts 2 Siendo la acción de control en su transformada Z: U(z) = kP + kI z + 1 z - 1 2 Ts + kD E(z) la cual es comparada con la respectiva variable u en su transformación de Laplace: U(s) = (kP + kI / s + kD s) E(s)

Método de Traslación Dd(z) = Da( ) , 10 FCR Mario Jordán Método de Traslación De las expresiones anteriores en s y z, se nota que el efecto de aproximar una función de transferencia en z se reduce a reemplazar la variable s por: z - 1 z + 1 Ts 2 , es decir que el controlador PID diseñado analógicamente con FT igual a Da(s), se puede implementar digitalmente cambiando: Dd(z) = Da( ) , z - 1 z + 1 Ts 2 siendo Dd(z) la FT del controlador digital que conserva los mismos parámetros kP, kD y kI ! El método de reemplazo se llama Método de Tustin y la transformación de s a z es conocida como Transformación Bilineal o Trapezoidal. No es la única transformación y es suficientemente aproximada para tiempos de muestreos pequeños.

Ejemplos de Método de Traslación 11 FCR Mario Jordán Ejemplos de Método de Traslación s/2 + 1 s/10 + 1 KDa(s)= 10 Sea el Controlador Analógico diseñado: 1 s(s + 1) G(s) = y la planta para dicho controlador: El controlador digital aproximado por la transformación bilineal es: z - 1 z + 1 Ts 2 (Ts+ 1) z + (Ts-1) (Ts+ 0.2) z + (Ts-0.2) /2 + 1 KDd(z) = 10 /10 + 1 = 10 b1 z + b2 a1 z + a2 = 10 Esta función de transferencia en z es implementada en una computadora (o PIC o Arduino u otro hardware libre embebido) y constituye el controlador digital, que es un reflejo del controlador analógico diseñado previamente. Como se ve, todos los coeficientes del controlador digital dependen de Ts.

Ejemplos en MATLAB 12 Herramientas : SIMULINK DISCRETE FCR Mario Jordán Ejemplos en MATLAB Herramientas : SIMULINK DISCRETE

13 Ejemplos en MATLAB Ejemplo de MUESTREO y COMBINACIÓN de bloques discretos y continuos Zero-Order Hold 1 s+1 Transfer Fcn s Integrator K Ts z-1 Integrador digital Constant (unit step) En definitiva, para MATLAB, cada bloque discreto tiene incorporado: 1 conversor A/D a la entrada, y 1 conversor D/A con retenedor de orden cero (Holder) a la salida A/D e(k) e(t) D/A u(t) u(k) Reloj Ts Controlador Digital Conversor y retenedor Conversor Bloque de tiempo discreto de MATLAB K Ts z-1 e(t) u(t) K Ts z-1 Ts=0.1

Elección del PERIODO DE MUESTREO Ts 14 Elección del PERIODO DE MUESTREO Ts El Período de Muestreo Ts es una variable que describe a una familia de controladores digitales {Dd(z)} reflejados desde un solo controlador analógico Da(s), es decir a un conjunto {Dd(z;Ts)} Se puede demostrar que la variable Ts está relacionada con la performance y la estabilidad del Sistema de Control con controlador digital En principio, su elección se basa en la siguiente gráfica: buena performance Oscilación auto-mantenida Ts Adecuación de Ts Mala performance Excesivo cálculo computacional Inestabilidad Ts* Intervalo apropiado Ts≤ts/25 (valor adoptado en base al tiempo de establecimiento ts para 1%)

Elección del PERIODO DE MUESTREO Ts 15 Elección del PERIODO DE MUESTREO Ts El Período de Muestreo Ts se puede elegir para la gran clase de Sistemas Dinámicos Lineales, invariantes en el tiempo y estables como sigue: Un valor adecuado de Ts consiste asignarle la fracción igual al tiempo de establecimiento ts (por ejemplo, definido en 1%) dividido al menos por 25. Respuesta al escalón de la planta Tiempo (sec) Amplitud 1 2 3 4 5 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 s2 + 2s + 4 G(s)= s+4 Ts ≤ ts /25 = 4/25 = 0.16 s Ts ≤ 0.16 s

Ejemplo de Diseño de un SC Digital 16 Ejemplo de Diseño de un SC Digital s jw Se identifica la planta: s2 + 2s + 4 G(s)= s+4 x Se diseña un control PI analógico: 1 x 6 s Da(s)= 4 + x Polos de lazo abierto x Ceros de lazo abierto Polos de lazo cerrado Ceros de lazo cerrado

Ejemplo de Diseño de un SC Digital 17 Ejemplo de Diseño de un SC Digital Transformada Bilineal o Trapezoidal: Ts 2 z - 1 z + 1 En el controlador analógico, se cambia la variable s por su transformada: 6 s Da(s)= 4 + Dd(z) = Da( s ) Ts 2 z - 1 z + 1 Elijo Ts = 0.1 seg, quedando finalmente un controlador digital PI: Dd(z) = 4 + 3Ts z + 1 z - 1 4.3 (z – 0.86) z - 1 Dd(z) =

PI trasladado mediante transformación bilineal 18 Controlador Digital – Simulink Propuesto por Simulink Diseño original con transformada bilineal PI trasladado mediante transformación bilineal O bien: PI ajustado por MATLAB (Funión tuning)

Planta y Planta Controlada Analógicamente 19 Planta y Planta Controlada Analógicamente 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 Planta: G(s)=(s+4)/(s2+2s+4) PI: kp=4, kI=6, kD=0 analógico 4.3(z–0.86) z-1 PI: (Ts=0.1) Planta controlada digitalmente analógicamente Planta sin control Mp Mpd Mpa ts ts ts tr tr tr

Controlador Digital – Tiempo de Muestreo 20 Controlador Digital – Tiempo de Muestreo 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 Planta: G(s)=(s+4)/(s2+2s+4) PID: kp=4, kI=6, kD=0 z-1 (4+3Ts )z+(3Ts -4 ) Dd(z)= Familia de Controladores y(t) Tiempo continuo y(k) Ts=0.05 y(k) Ts= 0.1 y(k) Ts= 0.2 y(k) Ts= 0.3 tiempo continuo

Controlador Digital – Acción de Control 21 Controlador Digital – Acción de Control 1 2 3 4 -2 -1 5 Planta: G(s)=(s+4)/(s2+2s+4) PID: kp=4, kI=6, kD=0 u(t) Tiempo continuo u(k) Ts=0.05 u(k) Ts= 0.1 u(k) Ts= 0.2 u(k) Ts= 0.3 tiempo continuo

Controlador Digital – Inestabilidad 22 Controlador Digital – Inestabilidad 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -6 -4 -2 6 8 Ts=0.35 Ts= 0.39 Ts= 0.42 Ts=0.45 (inestable) 1(t) y(t) -30 -20 -10 10 20 30 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 tiempo continuo Un sistema de control analógico estable (aún para cualquier ganancia K) resultará inestable con el correspondiente controlador digital si el tiempo de muestreo es suficientemente alto! u(t)