Subtema 2.1.7. Capacitancia eléctrica. Un capacitor o condensador eléctrico es un dispositivo empleado para almacenar cargas eléctricas, como se ve en la figura siguiente.

- + A B + - + - + - + - + - + - + - - + La capacidad de almacenar carga aumenta si se acercan más las placas A y B entre sí o bien, al incrementarse el área de las placas o el voltaje De la batería.

Un capacitor simple como el mostrado en la figura anterior, consta de dos láminas metálicas separadas por un aislante o dieléctrico que puede ser aire, vidrio, mica, aceite o papel encerado. La capacidad o capacitancia de un capacitor se mide por la cantidad de carga eléctrica que puede almacenar. Para aumentar la capacitancia se hacen las siguientes modificaciones:

1.- Disminuir la distancia entre las placas metálicas, de tal manera que al acercarse, la placa positiva provocará que se atraigan más cargas negativas de la batería sobre la placa negativa y por supuesto más cargas positivas sobre la carga positiva. 2.- Aumentar el área de las placas, pues mientras mayor superficie tengan, mayor será su capacidad de almacenamiento. 3.- Aumentar el voltaje de la batería.

La cantidad de carga Q que puede ser almacenada por un capacitor a un voltaje dado es proporcional a la capacitancia C y al voltaje V de donde: Q = CV. Al despejar C de la fórmula anterior se obtiene la ecuación que permite definir la unidad de capacitancia: C = Q V

Donde: C = capacitancia del capacitor en farads (F). Q = carga almacenada por el capacitor en coulombs (C). V = diferencia de potencial entre las placas del capacitor en volts (V). A la unidad de capacitancia se le ha dado el nombre de farad o faradio (F) en honor de Michael Faraday (1791-1867), físico y químico inglés, pionero del estudio de la electricidad.

Por definición: un capacitor tiene la capacitancia de un farad cuando al almacenar la carga de un coulomb su potencial aumenta un volt: Un farad = un coulomb un volt Debido a que el farad es una unidad muy grande, en la práctica se utilizan submúltiplos de ella, como el milifarad (mF = 1 x 10-3 F), equivalente a la milésima parte del farad, el microfarad (μF = 1 x 10-6 F), que es la millonésima parte del farad, en nanofarad (nF = 1 x 10-9 F) o el picofarad (pF = 1 x 10-12 F), que es la billonésima parte del farad.

Los capacitores utilizados en los circuitos eléctricos son de diversas clases, formas y tamaños. Uno de los más usados en los aparatos de radio o en el sistema de encendido de los automóviles es el llamado capacitor de papel, el cual consta de dos bandas largas de laminillas de estaño separadas por una tira de papel delgado recubierto de parafina. También se empapa con parafina al conjunto formado por las laminillas de metal y el papel, esto a su vez se enrrolla con otra cinta de papel con parafina y se guarda en una pequeña unidad compacta. Cada laminilla de estaño se convierte en una de las placas del capacitor y el papel realiza la función de ser un aislante o dieléctrico.

Cuando de desea calcular la capacitancia de un capacitor de placas paralelas se utiliza la siguiente expresión matemática: C = ε A d Donde C = capacitancia en farads (F). ε= constante que depende del medio aislante y recibe el nombre de permitividad en F/m. A = área de una de las placas paralelas en metros cuadrados (m2). d= distancia entre las placas en metros (m).

La constante ε llamada permeabilidad eléctrica o simplemente permitividad del medio aislante, es igual al producto de la constante de permitividad del vacío εo= 8.85 x 10-12 C2/Nm2, y εr o sea, la permitividad relativa o coeficiente dieléctrico del medio aislante. Por lo tanto: ε = εo εr. Los valores de la permitividad relativa o coeficiente dieléctrico (εr) de algunas sustancias aislantes se dan en el cuadro siguiente. Finalmente cabe señalar que las unidades de la permeabilidad eléctrica o permitivad ε son F/m equivalente a C2/Nm2 igual que las unidades de εo.

Permitividad relativa de algunos medios. Medio aislador permitividad relativa (εr) Vacío 1.0000 Aire 1.0005 Gasolina 2.35 Aceite 2.8 Vidrio 4.7 Mica 5.6 Glicerina 45 Agua 80.5

Problemas de capacitores eléctricos. 1.- Dos láminas cuadradas de estaño de 30 cm de lado están adheridas a las caras opuestas de una lámina de mica de 0.1 mm de espesor con una permitividad relativa de 5.6 ¿cuál es el valor de la capacitancia? Datos Fórmula l = 30 cm = 0.3 m C = ε A d = 0.1 mm d εr = 5.6 εo= 8.85 x 10-12 C2/Nm2, C= ? Solución: Cálculo de la permitividad ε de la mica: ε = εo εr ε = 8.85 x 10-12 C2/Nm2 x 5.6 = 49.56 x 10-12 F/m.

Cálculo de cualquiera de las dos placas: A = l2 = (0.3 m)2 =0.09 m2. Conversión de unidades: Como 1 m = 1 x 103 mm. 0.1 mm x 1 m =1 x 10-4 m. 1 x 103 mm. Sustitución y resultado: C = 49.56 x 10-12 F/m.x 0.09 m2. 1 x 10-4 m. C = 446 x 10-10 F = 0.0446 μF.

2.- Las placas de un capacitor tienen una separación de 5 mm en el aire. Calcular su capacitancia si cada placa rectangular mide 15 cm x 20 cm. Datos Fórmula d = 5 mm C = ε A A = 0.15 m x 0.20 m d εr = 1 εo= 8.85 x 10-12 C2/Nm2, C = ? Solución: como la permitividad relativa para el aire prácticamente puede ser considerada igual a uno, el valor de la permitividad ε del aire es igual a la permitividad en en vacío εo, es decir: εaire = εo= 8.85 x 10-12 C2/Nm2

Cálculo del área de una de las placas: A = 0.15 m x 0.20 m = 0.03 m2. Conversión de unidades: 5 mm x 1 m = 5 x 10-3 m 1 x 103 mm Sustitución y resultado: C = 8.85 x 10-12 F/m x 0.03 m2. 5 x 10-3 m C = 5.31 x 10-11 F = 53.1 pF.

Los capacitores tienen muchos usos en los circuitos de corriente alterna, en los circuitos de radio y en el encendido de la mayoría de los automóviles. Por ejemplo, en el preciso instante que se abre un circuito, con frecuencia los electrones siguen fluyendo como lo hacían inmediatamente antes de abrirlo. Esta pequeña corriente que continúa brevemente después de abrir el circuito logra atravesar el espacio entre los conductores del interruptor si no se encuentran muy separados.

Debido a lo anterior, la descarga producida calienta y descarga las partes del interruptor. Existen dispositivos, como los empleados en el sistema de encendido de los automóviles, denominados platinos, los cuales se pueden abrir y cerrar varios cientos de veces por segundo, de manera que si no se impide el fenómeno antes descrito se deberían cambiar constantemente.

Así pues, cuando se abre el interruptor, los electrones que podrían provocar una descarga entre los platinos de contacto cargan al capacitor, y si en éste llega a existir una diferencia de potencial muy grande, capaz de producir una pequeña chispa, las puntas están lo suficientemente separadas para no producir descarga eléctrica alguna.

Los capacitores también se utilizan en algunas cámaras fotográficas en las cuales una lámpara electrónica utiliza un capacitor para almacenar la energía de una batería. Al cerrar el fotógrafo el interruptor, el capacitor se descarga por medio del foco eléctrónico que tiene instalado, así, se convierte en luz y calor la energía almacenada.

Conexión de capacitores en serie y en paralelo. Al igual que las resistencias eléctricas, los capacitores también pueden conectarse en serie y en paralelo como se ven en las figuras siguientes, con la diferencia de que las dos ecuaciones para los capacitores son las contrarias de las utilizadas para las resistencias en serie y en paralelo.

- + - + - + C1 C2 C3 - + Capacitores conectados en serie al estar la placa positiva de uno Unida a la negativa del otro.

C1 - + C2 - + C3 - + - + Conexión de capacitores en paralelo al unirse las placas positivas de Los capacitores en un punto y las negativas en otro.

Las ecuaciones empleadas para calcular las capacitancia equivalente de las conexiones en serie son: 1 = 1 + 1 + 1 + … 1 Ce C1 C2 C3 Cn QT = Q1 = Q2 = Q3 =… Qn Q = CV VT = V1 + V2 + V3 +… Vn

Las ecuaciones empleadas para calcular la capacitancia equivalente de las conexiones en paralelo son: Ce = C1 + C2 + C3 + … + Cn VT = V1 = V2 = V3 =… Vn V = Q C QT = Q1 + Q2 + Q3 +…+ Qn

Resolución de problemas de capacitores conectados en serie y en paralelo. 1.- Tres capacitores de 3, 6, y 8 pF se conectan primero en serie y luego en paralelo. Calcular la capacitancia equivalente en cada caso. Solución: Conexión en serie: 1 = 1 + 1 + 1 = 0.333 + 0.166 + 0.125 Ce 3 6 8 1 = 0.624 Ce Ce = 1 = 1.6 pF 0.624 Conexión en paralelo: Ce = 3 + 6 + 8 = 17 pF.

2.- Tres capacitores de 2, 7 y 12 pF se conectan en serie a una batería de 30 V. Calcular: a) La capacitancia equivalente de la combinación. b) La carga depositada en cada capacitor. C) La diferencia de potencial en cada capacitor. Solución: 1 = 1 + 1 + 1 = 0.5 + 0.143 + 0.083 Ce 2 7 12 1 = 0.726 Ce Ce = 1 = 1.38 pF. 0.726 B) Como la conexión es en serie, la carga depositada en cada capacitor es la misma y equivale a: Q = CV = 1.38 x 10-12 F x 30 V = 41.4 x 10-12 C o 41.4 pC.

La diferencia de potencial en cada capacitor será de: V1 = Q/C1 = 41.4 x 10-12 C = 20.7 V 2 x 10-12 F V2 = Q/C2 = 41.4 x 10-12 C = 5.9 V 7 x 10-12 F V3 = Q/C3 = 41.4 x 10-12 C = 3.4 V 12 x 10-12 F El voltaje total suministrado V, es igual a la suma de V1+ V2 + V3 = 20.7 V + 5.9 + 3.4 = 30 V.

3.- Un capacitor cuyo valor es de 40 μF, se conecta a una diferencia de potencial de 120 volts. Expresar la carga almacenada en coulombs y a cuántos electrones equivale: Datos Fórmula C = 40 μF Q = CV V = 120 V Q = ? Sustitución y resultado: Q = 40 x 10-6 F x 120 V Q = 4800 x 10-6 C conversión de unidades: 4800 x 10-6 C x 6.24 x 1018 electrones = 29.9 x 1015 electrones. 1 C

4.- Tres capacitores están conectados en paralelo a una diferencia de potencial de 120 volts y sus valores son C1 = 6 μF, C2 = 8 μF y C3 = 12 μF calcular: a) La capacitancia equivalente de la combinación. b) La diferencia de potencial en cada capacitor. c) La carga depositada en cada capacitor. d) La carga total almacenada por los capacitores.

Solución: a) Ce = C1 + C2 + C3 = 6 + 8 + 12 = 26 μF. b) La diferencia de potencial en cada capacitor es igual cuando la conexión es en paralelo y puesto que están conectados directamente a la fuente de 120 V, en cada capacitor, el voltaje es el mismo, es decir 120 V. c) La carga depositada en cada capacitor equivale a: Q1 = C1V = 6 x 10-6 F x 120 V = 720 x 10-6 C ó 720 μC. Q2 = C2V = 8 x 10-6 F x 120 V = 960 x 10-6 C ó 960 μC. Q3 = C3V = 12 x 10-6 F x 120 V = 1440 x 10-6 C ó 1440 μC.

d) La carga total almacenada por los tres capacitores es: Q = Q1 + Q2 + Q3. Q = (720 + 960 + 1440) x 10-6 C = 3120 x 10-6 C o 3120 μC. Nota: esta cantidad de carga será la misma que obtendremos al multiplicar la capacitancia equivalente por el voltaje que suministra la batería: Q = Ce V = 26 x 10-6 F x 120 V = 3120 x 10-6 C o 3120 μC.

5.- De acuerdo con el siguiente arreglo de capacitores mostrados en la figura siguiente. Calcular: a) la capacitancia equivalente del circuito en paralelo. b) la capacitancia total equivalente del circuito. c) El voltaje existente en cada capacitor.

- + C1 = 2 pF - + C3 = 5 pF C2 = 4 pF + - 60 V

Solución: a) La capacitancia equivalente del circuito en paralelo es: Ce = C1 + C2. Ce = 2 pF + 4 pF = 6 pF. La capacitancia total del circuito la calculamos considerando el valor de la capacitancia equivalente del circuito en paralelo (Cp) como una conexión en serie con el capacitor C3. 1 = 1 + 1 = 0.166 + 0.2 = 0.366 CT 6 5 CT = 1 = 2.73 pF. 0.366

c) Como nuestro arreglo de capacitores se ha reducido a un circuito de dos capacitores conectados en serie, la carga depositada en cada uno de ellos es la misma y equivale a: Q = CTV = 2.73 X 10-12 F X 60 V = 163.8 X 10-12 C O 163.8 pC. Para calcular la diferencia de potencial en cada capacitor, tenemos que en C1 y C2, será el mismo valor por estar en paralelo y equivale a: Vp = Q = 163.8 X 10-12 C = 27.3 Volts. Cp 6 x 10-12 F En el capacitor C3 el voltaje es: V3 = Q = 163.8 X 10-12 C = 32.7 Volts. C3 5 x 10-12 F