Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B) VECTORES EN EL ESPACIO Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B) Semestre 99-00 B

Eje Z Eje X O Eje Y Sistema de coordenadas de la mano derecha

Dado un vector u se le asocia el punto P(a,b,c) así: Eje Y Eje X Eje Z c u b a u=(a,b,c) son las coordenadas del punto P y del vector u

Dado (a,b,c)3 se le asocia el vector u así: u=(a,b,c) Eje Y Eje X Eje Z c u b a

Punto P (a,b,c)3 Vector u=OP Sistema de coordenadas rectangulares en el espacio Vector u=OP desde el origen hasta P (a,b,c)3 Esta correspondencia se llama: Sistema de coordenadas rectangulares

Plano XY={(x,y,z)3/ z=0} Eje Z O Eje Y Eje X

Eje X Eje Z Plano XZ= {(x,y,z)3/ y=0} O Eje Y

Plano YZ={(x,y,z)3/ x=0} Eje Y Eje Z Eje X

Sean u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) vectores en el espacio y  un número real. Se define el vector: suma u+v como u+v= (u1+ v1, u2+ v2, u3+v3) producto por un escalar  u como  u=(au1, au2, au3).

La magnitud o norma de un vector u=(u1,u2,u3) es su longitud, es decir, de acuerdo al teorema de Pitágoras. Un vector de norma 1 se llama vector unitario

Ejemplo Nº1 a) Encuentre el vector de norma 4 en la dirección del vector (2,-2,-1) b) Encuentre el vector unitario que forma un ángulo de /4 con el eje X

Solución Nº1 a) por lo tanto (2,-2,-1) es el vector buscado

b) Hay infinitos vectores de norma 1, que forman un ángulo de /4 con el eje X. Eje Y Eje X Eje Z

Por lo tanto en 3 se define una dirección como un vector unitario. Eje X Eje Y Eje Z u=(a,b,c) unitario u a= cos  b= cos  c= cos     cos2+cos2+cos2 =1 , ,  son los ángulos directores

Producto escalar Se define el producto interior o producto escalar de dos vectores u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) como: u.v=u1v1+u2v2+u3v3  Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño  entre u y v.

Producto escalar Eje X Eje Y Eje Z /2 Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o .  Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de /2

Teorema: Proyvu= Interpretación geométrica: u  v ucos Sean u y v vectores no nulos y  el ángulo entre ellos, entonces Interpretación geométrica:  v u Proyvu= ucos

Teorema: Sea v un vector no nulo, entonces para cualquier vector u se tiene que es un vector ortogonal a v w= w=u-proyvu  v u Proyvu

Prueba del Teorema: w.v= Por lo tanto wv

Ejercicio Nº2 a) Calcule la proyección de u=(2,3,-1) sobre v=(2,-1,3). b) Sean u=(1,0,0), v=(0,1,1) y w=(3,0,0). Encuentre el ángulo entre u y v, u y w, v y w. c) Encuentre todos los vectores ortogonales a (1,-1,2) y (0,1,-2)

Producto vectorial El producto vectorial o producto cruz fue definido por Hamilton (1848) y solo está definido para 3. Es un producto de vectores en 3 cuyo resultado es un vector perpendicular a ambos factores, de manera que se mantenga el sistema derecho Primero se define en los vectores canónicos i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)

(bz-cy)i- (az-cx)j +(ay-bx)k Producto vectorial ixi=0 jxj=0 kxk=0 ixj=k jxi=-k kxi=j ixk=-j jxk=i kxj=-i u= ai+bj+ck v= xi+yj+zk (bz-cy)i- (az-cx)j +(ay-bx)k uxv

Producto vectorial Una regla nemotécnica para recordar la definición de producto vectorial es escribir uxv como el “determinante”: uxv= y calcular el mismo por cofactores de la primera fila

Producto vectorial Teorema: Si  es el ángulo entre los vectores u y v, entonces Prueba:

Producto vectorial Teorema: Sean u,v,w vectores en 3 y  un número real, entonces: ux0 = 0xu = 0 uxv = - vxu (propiedad anticonmutativa) (u)xv = (uxv) = ux( v) ux(v+w) = uxv + uxw (propiedad distributiva) u.(uxv) = v.(uxv) = 0, es decir , uuxv, vuxv uxv = 0 si y solo si u||v. (uxv).w = u.(vxw) (producto triple) Prueba: Use MATLAB

Area del paralelogramo generado por los vectores u y v = uxv Interpretación geométrica del producto cruz Eje Z Eje Y Eje X  usen  u v Area= v usen  uxv Area del paralelogramo generado por los vectores u y v = uxv

Volumen |uxv|Proyuxvw Interpretación geométrica del producto cruz Eje Z Eje Y Eje X Area de la base uxv u v w Volumen |uxv|Proyuxvw Volumen del paralelepípedo generado por los vectores u, v y w= |w.(uxv)|

Solución Nº2 Proyvu= Proyvu= u.v=0, v.w=0, de donde uv y v  w (forman un ángulo de /2). u.w=3, , por lo tanto u.w= de donde uw y el ángulo que forman es cero ya que tienen la misma dirección

Solución Nº2 u=(a,b,c) es ortogonal a (1,-1,2) y (0,1,-2) si a-b+2c=0 y b-2c=0 Sistema homogéneo cuya matriz asociada es Solución: a=0; b=2t; c=t , t, es decir, todos los vectores de la forma (0,2t,t).