INECUACIONES U. D. 6 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

INECUACIONES RACIONALES U. D. 6.3 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

INECUACIONES RACIONALES Una inecuación RACIONAL es la que tiene la forma: P(x) ------ ≤ 0 , ( o también el signo ≥ , > o <) Q(x) Siendo Q(x) <> 0 siempre. Para resolverlas se FACTORIZAN los polinomios P(x) y Q(x), a semejanza de las inecuaciones cuadráticas y polinómicas. Y finalmente se aplica la Regla de los signos. Hay que tener presente que los ceros o raíces de Q(x) no pueden formar parte de la solución de la inecuación. La solución será un intervalo abierto o cerrado. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Muy importante diferencia Sea la inecuación: [ 2 / (x + 1) ] + 3 ≥ 4 MAL: BIEN: 2 + 3.(x+1) 2 + 3.x + 3 --------------------- ≥ 4 ----------------- – 4 ≥ 0 x + 1 x + 1 2 + 3.(x+1) ≥ 4.(x + 1) 3.x + 5 – 4.x – 4 ---------------------- ≥ 0 x + 1 2 + 3.x + 3 ≥ 4.x + 4 1 – x -------- ≥ 0 2 + 3 – 4 ≥ 4.x – 3.x (– oo , – 1)  No se cumple (– 1 , 1)  Se cumple 1 ≥ x  x ≤ 1 ( 1 , oo)  No se cumple. Solución = ( - oo, 1 ] Solución = ( – 1 , 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplos resueltos + + - - + + 1 - oo 0 1 +oo ( 1 – x ) x Resuelve la inecuación: 1 – x -------------- ≤ 0 x El cero del numerador es x1 = 1 , y el del denominador es x2 = 0 Como ya está factorizado, se halla el signo de cada factor: 1 - oo 0 1 +oo ( 1 – x ) + + - - + + x División - + - El 0 no puede ser solución, luego: Solución = x ε (- oo , 0) U [ 1, +oo) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

-- -- -- + -- + + + 2 - oo - 2 1 2 +oo ( x – 2 ) ( x + 2 ) Resuelve la inecuación: x2 – 4 ----------- > 0 x – 1 Se hallan las dos raíces del numerador: x1 = 2 , x2 = – 2 Se factoriza el polinomio: (x – 2).( x + 2 ) --------------------- > 0 x – 1 y se halla el signo de cada factor: 2 - oo - 2 1 2 +oo ( x – 2 ) -- -- -- + -- + + + ( x + 2 ) ( x – 1 ) -- -- + + División -- + -- + Solución = ( – 2 , 1 ) U ( 2 , + oo ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

- + + - - + Resuelve la inecuación: x2 + 3.x + 2 3 ---------------- < 0 x2 + 2.x Se hallan las cuatro raíces, dos a dos: x1 = – 1 , x2 = – 2 x3 = 0 , x4 = – 2 Se factoriza el polinomio: (x + 1 ).( x + 2 ) --------------------- < 0  (x + 1) / x < 0 x.(x + 2) Una vez simplificada se halla el signo de cada factor: 3 - oo - 1 0 +oo ( x + 1 ) - + + - - + x División + - + Para x = 2 se anula el denominador, por lo cual No puede ser solución. Solución = (– 1 , 0) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Una solución gráfica Ejemplo 1 1 – x --------- ≤ 0 x 1 Como función: 1 --------- ≤ 0 x Como función: 1 y = – 1 + ----- Damos varios valores a x, obtenemos los de y, y la dibujamos. Solución: La parte de la gráfica por debajo del eje OX (- oo , 0) U [ 1, +oo) 1 – 1 0 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.