2/22/2019 RAICES MÉTODO DE BISECCIÓN
BÚSQUEDA DE RAÍCES- BISECCIÓN Consideraremos el problema numérico más básico que es la búsqueda de raíces. Es decir resolver el problema de encontrar numéricamente la solución de: 𝒇 𝒙 =𝟎. El 𝒑 que resuelve el problema anterior se denomina raíz o cero de la función. El primer método que veremos es el método de la BISECCIÓN O BUSQUEDA BINARIA. Supongamos que f es una función continua en el intervalo 𝒂,𝒃 𝒚 𝒇 𝒂 .𝒇 𝒃 <𝟎. El teorema de Bolzano o teorema del valor medio garantiza la existencia de 𝒑∈ 𝒂,𝒃 tal que 𝒇 𝒑 =𝟎. Supondremos por simplicidad que la raíz es única. El método consiste en generar subintervalos del intervalo 𝒂,𝒃 y en cada paso detectar en cuál de esos subintervalos se encuentra p. 2/22/2019
Para ello tomamos: 𝒂 𝟏 =𝒂 𝒚 𝒃 𝟏 =𝒃 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒑 𝟏 = 𝒂 𝟏 + 𝒃 𝟏 − 𝒂 𝟏 𝟐 = 𝒂 𝟏 + 𝒃 𝟏 𝟐 Si 𝒇 𝒑 𝟏 =𝟎→𝒑= 𝒑 𝟏 y listo Si 𝒇 𝒑 𝟏 ≠𝟎→ analizamos dónde se produce el cambio de signo. a) Si 𝒇 𝒑 𝟏 𝒚 𝒇 𝒂 𝟏 tienen el mismo signo entonces 𝒑∈ 𝒑 𝟏 , 𝒃 𝟏 . Elegimos 𝒂 𝟐 = 𝒑 𝟏 𝒚 𝒃 𝟐 = 𝒃 𝟏 . b) Si 𝒇 𝒑 𝟏 . 𝒇 𝒂 𝟏 <𝟎 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒑∈ 𝒂 𝟏 , 𝒃 𝟏 .Elegimos 𝒂 𝟐 = 𝒂 𝟏 𝒚 𝒃 𝟐 = 𝒑 𝟏 . Repetimos el proceso como se muestra en la siguiente figura: 2/22/2019
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Generamos así la sucesión: 𝑝 𝑛 = 𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛 2 𝑝 𝑛 = 𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛 2 Criterios de paro: Fijada una tolerancia 𝜀 2/22/2019 𝒑 𝒏 − 𝒑 𝒏−𝟏 <𝜺 (𝟏) 𝒑 𝒏 − 𝒑 𝒏−𝟏 𝒑 𝒏 <𝜺 𝒑 𝒏 ≠𝟎 (𝟐) 𝒇 𝒑 𝒏 <𝜺 (𝟑)
La raíz real con 9 decimales correctos es: p=1.365230013 Ejemplo Mostrar que 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟑 +𝟒 𝒙 𝟐 −𝟏𝟎 tiene una raíz en el intervalo [1,2]. Usar el método de la bisección para obtener una aproximación de la raíz con un error menor que 𝟏𝟎 −𝟐 . La raíz real con 9 decimales correctos es: p=1.365230013 Si queremos un error menor que 𝟏𝟎 −𝟒 la siguiente tabla muestra la cantidad de iteraciones necesarias: 2/22/2019
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