Teorema de Pitágoras Demostración geométrica Ejercicios de aplicación Problemas de aplicación

a2 = b2 + c2 En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos a c a2 = b2 + c2 b Demostración geométrica del Teorema de Pitágoras Haz clic con el ratón

Dibujamos dos cuadrados iguales. Tienen por tanto la misma área La figura interior es un cuadrado de lado a, luego su área es a2 Las figuras no ocupadas por estos cuatro triángulos son dos cuadrados de áreas b2 y c2 Dibujamos en las cuatro esquinas del primer cuadrado cuatro triángulos rectángulos iguales de lados a (hipotenusa), b y c (catetos) Trasladamos los cuatro triángulos al otro cuadrado de la manera siguiente Dibujamos dos cuadrados iguales. Tienen por tanto la misma área c2 a c a2 b b2 a c b Las áreas no ocupadas por estos cuatro triángulos son iguales en ambos cuadrados a2 b2 c2 = + Volver Haz clic con el ratón Haz clic con el ratón Haz clic con el ratón Haz clic con el ratón Haz clic con el ratón

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Vamos a calcular la longitud de x en cada uno de los siguientes casos: x 2 cm x 5 cm x 7cm 3 cm 3 cm x 3 cm Índice Haz clic sobre el que quieras resolver

Aplicamos el Teorema de Pitágoras: x2 = 52 + 72 Se trata de un triángulo rectángulo cuyos lados miden: x cm la hipotenusa y 5 cm y 7 cm los dos catetos. x 5 cm 7cm Aplicamos el Teorema de Pitágoras: x2 = 52 + 72 y resolvemos la ecuación resultante: x2 = 25 + 49 x2 = 74 x = = 8’6 cm Volver

Aplicamos el Teorema de Pitágoras: 22 = x2 + x2 Se trata de un triángulo rectángulo cuyos lados miden: 2 cm la hipotenusa y x cm ambos catetos. 2 cm x x Aplicamos el Teorema de Pitágoras: 22 = x2 + x2 y resolvemos la ecuación resultante: 4 = 2x2 2 = x2 x = = 1’41 cm Volver

Trabajaremos en uno de los dos triángulos rectángulos Se trata de un triángulo isósceles dividido en dos triángulos rectángulos iguales cuyos lados miden: 3 cm la hipotenusa y x cm y 1’5 cm los dos catetos. 3 cm 3 cm x Trabajaremos en uno de los dos triángulos rectángulos 1’5 cm 3 cm Aplicamos el Teorema de Pitágoras: 32 = x2 + 1’52 y resolvemos la ecuación resultante: 9 = x2 + 2’25 6’75 = x2 x = = 2’60 cm Volver Índice

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 5 y 8 cm. 2. Calcula el perímetro de un rectángulo del que la diagonal mide 10 cm. y uno de los lados, 6 cm. 3. Una escalera de 5m. De larga está apoyada sobre una pared de forma que su extremo inferior se encuentra a 1’2 m. de la misma. ¿Qué altura alcanza el extremo superior? 4. Una antena está sostenida por cuatro tirantes de cable de acero. El extremo superior de cada tirante se sujeta a la antena a una altura de 40 m. El extremo inferior de cada uno está amarrado al suelo a 30 m de la base de la antena. ¿Cuántos metros de cable se han utilizado? Índice Haz clic sobre el que quieras resolver

Dibujamos el rombo y vemos que para calcular el perímetro hemos de hallar la longitud l de un lado, el cual es la hipotenusa de uno de los cuatro triángulos rectángulos que componen el rombo. l 2’5 cm 5 cm 4 cm Aplicamos el teorema de Pitágoras en uno de esos triángulos en el que los catetos miden 2’5 y 4 cm (la mitad de las diagonales del rombo) 8 cm l 2 = 2’52 + 42 = 6’25 + 16 = 22’25 l = El perímetro del rombo será P = 4 l = 4 ·4’72 = 18’88 cm Volver

Dibujamos el rectángulo y su diagonal Dibujamos el rectángulo y su diagonal. Conocemos un lado, por lo que para calcular el perímetro hemos de hallar la longitud l del otro lado, el cual es un cateto de uno de los dos triángulos rectángulos que componen el rectángulo. l 10 cm 6 cm Aplicamos el teorema de Pitágoras en uno de esos triángulos en el que el otro cateto mide 6 cm y la hipotenusa mide 10 cm: 102 = l 2 + 62 y resolvemos la ecuación resultante: 100 = l 2 + 36 64 = l 2 l = = 8 cm El perímetro del rectángulo será P = 2 · 8 + 2 · 6 = 28 cm Volver

Dibujamos la escalera cuyos extremos estarán, uno en el suelo a 1’2 m de la pared y el otro apoyado sobre ésta a una altura h del suelo, que es lo que tenemos que calcular. 5 m h 1’2 m La figura formada por la escalera con la pared y el suelo es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 5 m y los catetos, h y 1’2 m. Aplicamos el teorema de Pitágoras en ese triángulo: 52 = h2 + 1’22 y resolvemos la ecuación resultante: 25 = h2 + 1’44 23’56 = h2 La altura que alcanza la escalera es: h = = 4’85 m Volver

Dibujamos la antena y uno de los tirantes Dibujamos la antena y uno de los tirantes. Ambos forman junto con la línea del suelo un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 40 m y 30 m, y cuya hipotenusa h es la longitud del tirante. h 40 m 30 m Aplicamos el teorema de Pitágoras en ese triángulo: h 2 = 302 + 402 = 900 + 1600 = 2500 h = Como son cuatro los tirantes que sujetan la antena, el total de cable utilizado será 4 ·h = 4 · 50 = 200 m Volver Índice Fin

Presentación realizada por Jesús Martínez Navarro Profesor del Departamento de Matemáticas I.E.S. Bajo Aragón