VECTORES LIBRES EN EL ESPACIO

Vectores en el espacio Llamaremos vector fijo a un segmento orientado. Si A, B son los puntos extremos, escribiremos . A se llama origen y B extremo. Llamaremos módulo del vector a su longitud, dirección a la recta que lo contiene o cualquier paralela y sentido a la forma de recorrerlo. Dos vectores son equipolentes o equivalentes, si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se denomina vector libre. Lo denotaremos por , , ...

Suma de vectores libres Propiedades: Interna. Asociativa. Conmutativa. Tiene elemento neutro que es el vector nulo. Todo vector tiene un opuesto - que cumple + (- ) =

Producto por un escalar Dados un vector libre y un número real a, se define como un vector que tiene: Como módulo Como dirección la misma que Como sentido: el mismo que si a es positivo y contrario al de si a es negativo.

Propiedades Distributiva respecto de la suma de vectores Si a es un número real cualquiera y dos vectores libres : a . ( + ) = a . + a . Distributiva respecto de la suma de escalares Si a , b son números reales cualquiera y es un vector libre : ( a + b ) . = a . + b . Asociatividad mixta Si a , b son números reales cualquiera, un vector libre: Neutro

El conjunto de los vectores libres del espacio con las operaciones de suma y producto por un escalar, es un espacio vectorial que se denota por V3 y que se denomina espacio vectorial de los vectores libres del espacio Combinación lineal de vectores Es cualquier expresión de la forma: Siendo R y vectores libres. Vectores linealmente independientes: son linealmente independientes, si ninguno de ellos puede ponerse como combinación lineal de los demás

Sistema generador: constituyen un sistema generador, si cualquier vector libre puede expresarse como combinación lineal de ellos. Base constituyen una base, si son linealmente independientes y sistema generador. En V3, las bases están constituidas por tres elementos Componentes de un vector Fijada una base , para cualquier vector , existen tales que se llaman componentes de en la base dada.

Suma de vectores en forma de componentes Fijada una base , si la suma Producto de un vector por un escalar en forma de componentes Fijada una base , si el producto

Sistema de referencia en el espacio Fijada una base , y un punto O del espacio, el conjunto se llama referencia del espacio afín. Si los vectores de la base son ortogonales y de módulo 1, la referencia se llama ortonormal Coordenadas afines de un punto Fijada una referencia del espacio afín, se llaman coordenadas afines del punto P del espacio, a las componentes del vector en la base

Vector determinado por dos puntos Fijada una referencia del espacio afín. Si http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Vectores_espacio_d3/Vectores_esp_1.htm

Se considera el espacio vectorial V3 de los vectores libres del plano Se considera el espacio vectorial V3 de los vectores libres del plano. Llamaremos producto escalar a toda aplicación *: V3 x V3   verificando las siguientes condiciones:  , ,  V3: Distributiva respecto de la suma * ( + ) = * + * Conmutativa * = * Si a es un número real cualquiera: = * = *

( V3 , * ) se llama espacio vectorial euclídeo.