SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Definición Una ecuación lineal con n incógnitas x1, x2, …, xn es una ecuación de la forma Siendo ai1, ai2, …, ain números reales, que se denominan coeficientes Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m ecuaciones lineales con n incógnitas de la forma siguiente:

Si c1, c2, …, cn es solución de cada ecuación de S Solución de un sistema de ecuaciones lineales El conjunto de números reales c1, c2, …, cn es una solución de la ecuación Si al sustituir en ella cada xi por ci i = 1,2,…, n la igualdad resultante es una identidad El conjunto de números reales c1, c2, …, cn es una solución del sistema S Si c1, c2, …, cn es solución de cada ecuación de S

Sistemas equivalentes Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes, si tienen el mismo conjunto de soluciones Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales Determinados Con solución única Compatibles Si tienen solución Indeterminados Con infinitas soluciones Incompatibles Si no tienen solución

Representación matricial y vectorial El sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas siguiente: puede escribirse en forma matricial como sigue: O abreviadamente A . X = B , siendo : A= X = y B =

La matriz A se llama matriz de coeficientes de S y la matriz A:B = se denomina matriz ampliada u orlada de S. Si llamamos a1 , a2, …, an a los vectores columna de A : aj = S puede escribirse como : si j = 1, 2,…, n, x1 . a1 + x2 . a2 +…..+ xn. an = B que es la expresión vectorial de S.

(rango A = rango A : B) Teorema de Rouché - Fröbenius El sistema de ecuaciones lineales S tiene solución  el rango de la matriz de coeficientes es igual al de la matriz ampliada (rango A = rango A : B)

Discusión de un sistema general: Consideremos el sistema general : Puede ocurrir: Rango A = rango A:B = n = nº de incógnitas  S compatible determinado. Rango A = rango A:B = r < nº de incógnitas S es compatible indeterminado. Rango A  rango A:B  S es incompatible.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS Cada ecuación lineal con tres incógnitas, representa a un plano en el espacio 1 2 1 = 2 Si el sistema es compatible indeterminado, con rango A = rango A:B = 2 los dos planos son secantes. Si el sistema es compatible indeterminado y rango A = rango A:B = 1 los dos planos son coincidentes. 1 2   Si el sistema es incompatible, los dos planos son paralelos.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN SISTEMA DE 3 ECUACIONES LINEALES CON 3 INCÓGNITAS S sistema compatible determinado  los tres planos tienen un único punto P común.   Si x = x0, y = y0, z = z0 es la solución del sistema  (x0, y0, z0) son las coordenadas del punto P común.

S sistema compatible indeterminado y rango A = rango A:B = 2  los tres planos pasan por una misma recta r

S sistema compatible indeterminado rango A = rango A:B = 1  los tres planos coinciden .

S sistema incompatible con rango A =2 , rango A:B =3 ningún subsistema de dos ecuaciones incompatible  planos secantes dos a dos

S sistema incompatible con rango A =2 , rango A:B =3 y exactamente un subsistema de dos ecuaciones incompatible  dos planos secantes y el tercero paralelo a uno de los anteriores

S sistema incompatible con rango A =1 , rango A:B =2 y los tres subsistemas de dos ecuaciones incompatibles  los tres planos son paralelos