16. Bitez R-ren gaineko 4 dimentsioko V bektore espazioa eta O bere oinarri bat, O = {u1, u2, u3, u4}. Bedi V bektore espazioan definitutako f endomorfismoa, zeinaren bidez: f(u1) = u1 + 3u2 , f(u2) = u2 - 3u3 , f(u3) = u1 , f(u4) = 0 a) Kalkula ezazu f(u1 + u2 + u3 + u4). b) Aurkitu ezazu f(u), non u bektorearen koordenatuak, O oinarriarekiko, (x, y, z, t) bait dira. a) f lineala izanik (endomorfismoa delako), f(u1 + u2 + u3 + u4) hurrengo erara idatz daiteke:

b) Aurkitu ezazu f(u), non u bektorearen koordenatuak, O oinarriarekiko, (x, y, z, t) bait dira. Berriro ere, f lineala izanik, f(xu1 + yu2 + zu3 + tu4) hurrengo erara idatz daiteke: edo, laukote eran:

17. Bedi f aplikazio hau f : P2[x] --> R3, f((a+bx+cx2)) = (a+b, 0, 2b) delarik. Froga ezazu f homomorfismoa dela eta aztertu bere injektibotasuna eta bere suprajektibotasuna. Enuntziatuan bermatuta dugunez, benetako aplikazioa da.Hortaz, homomorfismoa dela frogatzeko soilik aplikazio honen linealtasunaz arduratuko gara: Lineala dela baieztatzeko hurrengo berdintasuna egiaztatu behar dugu:

Bestaldetik Beraz, benetan:

Behin benetako homomorfismoa dela egiaztatu dugun, azter dezagun hurrengoan bere injektibotasuna eta suprajektibotasuna: Injektibotasuna, kernelaren bidez aztertuko dugu: Ikusten dugunez, kernelean P2[x]-ren elementu neutroa, 0+0x+0x2, ez ezik, beste elementuak badaude, ondorioz, homomorfismo hau ez da injektiboa.

Bestaldetik, homorfismoa hau ez da suprajektiboa izango, argi eta garbi, irudi guztien bigarren koordenatua beti zero delako. Nabarmenki, R3-ren bektore guztiak ez dira horrelakoak, adibidez (0, 1, 0) R3-ren benetako bektorea da baina ez da inongo bektoreren irudia homorfismo honekikoa.

18. Bitez R-ren gaineko 2 dimentsioko V bektore espazioa eta O bere oinarri bat, O = {u1, u2}. Bitez V-n bektore espazioan definitutako bi endomorfismo, f eta g zeintzuen bidez: f(u1) = 2u1 - u2 g (u1) = u1 f(u2) = u1 + u2 g (u2) = -u1 Froga ezazu f o g ≠ g o f. Bi endomorfismo berdinak izateko definituta egon behar dute espazio bektorial berean eta biek ematen dituzten irudiak berdinak izan behar dute bektore guztietarako. Kasu honetan, bi endomorfismo hauek, f eta g, espazio bektorial berean definituta daude. Hortaz, desberdinak direla frogatzeko nahikoa dugu aurkitzen bektoreren bat, irudi desberdinekin bi endomorfismo hauekiko:

19. Bedi f aplikazio lineal hau: f : R3 ----> R3, f(x, y, z) = (2x+y, -z, 0) a) Aurkitu hasierako R3-ren irudiaren, f(R3) edo Ir(f)-ren, oinarri bat, eta Ker(f)-ren oinarri bat. b) (6, -2, 0) bektorea Ker(f)-rena al da?

20. Bedi R4 bektore espazioko f endomorfismoa zeinaren bidez: f(u1) = u1 , f(u2) = 2u1 + u2 , f(u3) = 3u1 , f(u4) = u1 + u2 + u3 + 2u4 non O = {u1, u2, u3, u4} multzoa R4-ren oinarri bat den. Aurkitu Ir(f)-ren oinarri bat eta osotu R4-ren oinarri bat lortzeko. Dakigun bezala, {f(u1) , f(u2) , f(u3) , f(u4)} bektore-sistemak osatzen du Ir(f)-ren bektore-sistema sortzaile bat. Bektore horiek laukote eran idatzita (O oinarriarekiko) hurrengo hauek dira:

Hiru bektoredun bektore-sistema askea balitz, Ir(f)-ren oinarri bat izango litzateke. Egiazta dezagun hiru bektore horiek elkarren linealki independenteak direla:

Hurrengoan, osotu behar dugu aurkitu dugun Ir(f)-ren oinarria R4 osoaren oinarria izan dadin. Horretarako dauzkagun hiru bektoreekiko linealki independentea izango den laugarren bektoreren bat behar dugu (lau bektoredun edozein bektore-sistema askea R4-ren oinarria delako). Saia gaitezen (0, 0, 1, 0) bektorearekin:

21. Bedi f aplikazio lineal hau: f : R3 -------------> R3 (x, y, z) -------------> (x+2y+3z, -x+y, x+y+2z) a) Aurkitu Ir(f)-ren, eta Ker(f)-ren oinarri bana. b) (8, 1, 5) bektorea Ir(f)-rena al da? (3, 0, 1) bektorea Ker(f)-rena al da? a)Dakigun bezala, {(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)} bektore-sistemak osatzen du R3-ren oinarri bat (oinarri kanonikoa alegia). Ondorioz:

Begibistakoa denez hirugarren bektorea da aurreko bien arteko batura. Beraz, bektore hori ken genezake eta bi bektoredun Ir(f)-ren bektore-sistema sortzaile batekin geratu. Bektore-sistema hau, {(1, -1, 1), (2, 1, 1)} askea ere izango litzateke eta, ondorioz hauxe izango litzateke bilatutako Ir(f)-ren oinarri bat: Bila dezagun orain kernelaren oinarriren bat:

b) (8, 1, 5) bektorea Ir(f)-rena al da? (3, 0, 1) bektorea Ker(f)-rena al da?

b) (8, 1, 5) bektorea Ir(f)-rena al da? (3, 0, 1) bektorea Ker(f)-rena al da?

22. R3 bektore espazioan definitutako hurrengo homomorfismoetatik, zeintzu dira automorfismo? Ez diren kasuetan aurkitu Ir(fi)-ren oinarri bat: f1(e1) = e1 + e2 - 2e3 f2(e1) = e1 + e2 + e3 f1(e2) = e1 - 2e2 + e3 f2(e2) = e1 - e2 f1(e3) = -2e1 + e2 + e3 f2(e3) = - e1 f3((a1, a2, a3)) = (a1 + a2 - a3, a1- a2 + a3, - a1 + a2 + a3) f4((a1, a2, a3)) = (2 a1 - a2 + a3, - a1 + 2 a2 - a3, a1 + a2) f5((a1, a2, a3)) = (a1 - 2 a2, a3 - a2 + a1, a1 + a3) non (e1, e2, e3) oinarri kanonikoa bait da eta (a1, a2, a3) bektorea, bektore espazioaren bektore orokorra bait da. Homomorfismo hauek bektore-espazio berean, R3-en, definituta daudenez, endomorfismoak dira. Ondorioz, injektiboak edo suprajektiboak direla egiaztatzen badugu (bietako bat bakarrik, bestea ez da behar), orduan, automatikoki baiezta dezakegu ere bijektiboak direla, hau da, benetako automorfismoak.

22. R3 bektore espazioan definitutako hurrengo homomorfismoetatik, zeintzu dira automorfismo? Ez diren kasuetan aurkitu Ir(fi)-ren oinarri bat: f1(e1) = e1 + e2 - 2e3 f2(e1) = e1 + e2 + e3 f1(e2) = e1 - 2e2 + e3 f2(e2) = e1 - e2 f1(e3) = -2e1 + e2 + e3 f2(e3) = - e1 f3((a1, a2, a3)) = (a1 + a2 - a3, a1- a2 + a3, - a1 + a2 + a3) f4((a1, a2, a3)) = (2 a1 - a2 + a3, - a1 + 2 a2 - a3, a1 + a2) f5((a1, a2, a3)) = (a1 - 2 a2, a3 - a2 + a1, a1 + a3) non (e1, e2, e3) oinarri kanonikoa bait da eta (a1, a2, a3) bektorea, bektore espazioaren bektore orokorra bait da.

Hiru bektore hauek elkarren linealki independenteak balira, bektore- sistema askea osatuko lukete eta ondorioz, Ir(f1)-ren benetako oinarri bat, baina (hiru izanda) baita R3 bektore-espazio osoaren oinarria ere. Ondorioz, Ir(f1) eta R3 berdinak izango lirateke eta, hortaz, f1 suprajektiboa izango litzateke. Baina f1 endomorfismoa izanik horrek esan nahiko luke bijektiboa ere badela, hau da, benetako automorfismoa. Horrexegatik aztertuko dugu hiru bektore hauen arteko menpekotasun lineala. Determinantearen bidez egiten badugu:

Hiru bektore hauek elkarren linealki dependenteak dira, bektore- sistema lotua osatzen dute eta ondorioz, ez dira Ir(f1)-ren benetako oinarri bat. Hau da: dim Ir(f1) < 3 eta, ondorioz f1 ez da suprajektiboa ezta bijektiboa ere (bide batez, ezta injektiboa ere, zeren endomorfismoetan hirurak batera betetzen baitira edo hiruetako ez da bat ere betetzen). Hortaz, automorfismo ez denez, eta enuntziatuan eskatzen digutenez, bilatu beharko dugu Ir(f1)-ren oinarriren bat. Ohi bezala, hori egiteko, abiatuko gara goiko hiru bektoredun bektore-sistema sortzailetik. Egiaztatu dugun bezala lotua da.Ikustagun ea lehendabiziko bi bektoreak elkarren linealki independenteak diren. Horrela balitz, Ir(f1)-ren benetako oinarria osatuko lukete:

22. R3 bektore espazioan definitutako hurrengo homomorfismoetatik, zeintzu dira automorfismo? Ez diren kasuetan aurkitu Ir(fi)-ren oinarri bat: f1(e1) = e1 + e2 - 2e3 f2(e1) = e1 + e2 + e3 f1(e2) = e1 - 2e2 + e3 f2(e2) = e1 - e2 f1(e3) = -2e1 + e2 + e3 f2(e3) = - e1 f3((a1, a2, a3)) = (a1 + a2 - a3, a1- a2 + a3, - a1 + a2 + a3) f4((a1, a2, a3)) = (2 a1 - a2 + a3, - a1 + 2 a2 - a3, a1 + a2) f5((a1, a2, a3)) = (a1 - 2 a2, a3 - a2 + a1, a1 + a3) non (e1, e2, e3) oinarri kanonikoa bait da eta (a1, a2, a3) bektorea, bektore espazioaren bektore orokorra bait da.

Hiru bektore hauek elkarren linealki independenteak balira, bektore- sistema askea osatuko lukete eta ondorioz, Ir(f2)-ren benetako oinarri bat, baina (hiru izanda) baita R3 bektore-espazio osoaren oinarria ere. Ondorioz, Ir(f2) eta R3 berdinak izango lirateke eta, hortaz, f2 suprajektiboa izango litzateke. Baina f2 endomorfismoa izanik horrek esan nahiko luke bijektiboa ere badela, hau da, benetako automorfismoa. Horrexegatik aztertuko dugu hiru bektore hauen arteko menpekotasun lineala. Determinantearen bidez egiten badugu:

22. R3 bektore espazioan definitutako hurrengo homomorfismoetatik, zeintzu dira automorfismo? Ez diren kasuetan aurkitu Ir(fi)-ren oinarri bat: f1(e1) = e1 + e2 - 2e3 f2(e1) = e1 + e2 + e3 f1(e2) = e1 - 2e2 + e3 f2(e2) = e1 - e2 f1(e3) = -2e1 + e2 + e3 f2(e3) = - e1 f3((a1, a2, a3)) = (a1 + a2 - a3, a1- a2 + a3, - a1 + a2 + a3) f4((a1, a2, a3)) = (2 a1 - a2 + a3, - a1 + 2 a2 - a3, a1 + a2) f5((a1, a2, a3)) = (a1 - 2 a2, a3 - a2 + a1, a1 + a3) non (e1, e2, e3) oinarri kanonikoa bait da eta (a1, a2, a3) bektorea, bektore espazioaren bektore orokorra bait da.

Hiru bektore hauek elkarren linealki independenteak balira, bektore- sistema askea osatuko lukete eta ondorioz, Ir(f3)-ren benetako oinarri bat, baina (hiru izanda) baita R3 bektore-espazio osoaren oinarria ere. Ondorioz, Ir(f3) eta R3 berdinak izango lirateke eta, hortaz, f3 suprajektiboa izango litzateke. Baina f3 endomorfismoa izanik horrek esan nahiko luke bijektiboa ere badela, hau da, benetako automorfismoa. Horrexegatik aztertuko dugu hiru bektore hauen arteko menpekotasun lineala. Determinantearen bidez egiten badugu:

22. R3 bektore espazioan definitutako hurrengo homomorfismoetatik, zeintzu dira automorfismo? Ez diren kasuetan aurkitu Ir(fi)-ren oinarri bat: f1(e1) = e1 + e2 - 2e3 f2(e1) = e1 + e2 + e3 f1(e2) = e1 - 2e2 + e3 f2(e2) = e1 - e2 f1(e3) = -2e1 + e2 + e3 f2(e3) = - e1 f3((a1, a2, a3)) = (a1 + a2 - a3, a1- a2 + a3, - a1 + a2 + a3) f4((a1, a2, a3)) = (2 a1 - a2 + a3, - a1 + 2 a2 - a3, a1 + a2) f5((a1, a2, a3)) = (a1 - 2 a2, a3 - a2 + a1, a1 + a3) non (e1, e2, e3) oinarri kanonikoa bait da eta (a1, a2, a3) bektorea, bektore espazioaren bektore orokorra bait da.

Hiru bektore hauek elkarren linealki independenteak balira, bektore- sistema askea osatuko lukete eta ondorioz, Ir(f4)-ren benetako oinarri bat, baina (hiru izanda) baita R3 bektore-espazio osoaren oinarria ere. Ondorioz, Ir(f4) eta R3 berdinak izango lirateke eta, hortaz, f4 suprajektiboa izango litzateke. Baina f4 endomorfismoa izanik horrek esan nahiko luke bijektiboa ere badela, hau da, benetako automorfismoa. Horrexegatik aztertuko dugu hiru bektore hauen arteko menpekotasun lineala. Determinantearen bidez egiten badugu:

Hiru bektore hauek elkarren linealki dependenteak dira, bektore- sistema lotua osatzen dute eta ondorioz, ez dira Ir(f4)-ren benetako oinarri bat. Hau da: dim Ir(f4) < 3 eta, ondorioz f4 ez da suprajektiboa ezta bijektiboa ere (bide batez, ezta injektiboa ere, zeren endomorfismoetan hirurak batera betetzen baitira edo hiruetako ez da bat ere betetzen). Hortaz, automorfismo ez denez, eta enuntziatuan eskatzen digutenez, bilatu beharko dugu Ir(f4)-ren oinarriren bat. Ohi bezala, hori egiteko, abiatuko gara goiko hiru bektoredun bektore-sistema sortzailetik. Egiaztatu dugun bezala lotua da.Ikustagun ea azkeneko bi bektoreak elkarren linealki independenteak diren. Horrela balitz, Ir(f4)-ren benetako oinarria osatuko lukete:

22. R3 bektore espazioan definitutako hurrengo homomorfismoetatik, zeintzu dira automorfismo? Ez diren kasuetan aurkitu Ir(fi)-ren oinarri bat: f1(e1) = e1 + e2 - 2e3 f2(e1) = e1 + e2 + e3 f1(e2) = e1 - 2e2 + e3 f2(e2) = e1 - e2 f1(e3) = -2e1 + e2 + e3 f2(e3) = - e1 f3((a1, a2, a3)) = (a1 + a2 - a3, a1- a2 + a3, - a1 + a2 + a3) f4((a1, a2, a3)) = (2 a1 - a2 + a3, - a1 + 2 a2 - a3, a1 + a2) f5((a1, a2, a3)) = (a1 - 2 a2, a3 - a2 + a1, a1 + a3) non (e1, e2, e3) oinarri kanonikoa bait da eta (a1, a2, a3) bektorea, bektore espazioaren bektore orokorra bait da.

Hiru bektore hauek elkarren linealki independenteak balira, bektore- sistema askea osatuko lukete eta ondorioz, Ir(f5)-ren benetako oinarri bat, baina (hiru izanda) baita R3 bektore-espazio osoaren oinarria ere. Ondorioz, Ir(f5) eta R3 berdinak izango lirateke eta, hortaz, f5 suprajektiboa izango litzateke. Baina f5 endomorfismoa izanik horrek esan nahiko luke bijektiboa ere badela, hau da, benetako automorfismoa. Horrexegatik aztertuko dugu hiru bektore hauen arteko menpekotasun lineala. Determinantearen bidez egiten badugu: