Resolución de Sistemas Lineales Introducción

Notación matricial

Condiciones para que el Sistema tenga Solución única Teorema Las siguientes proposiciones son equivalentes:

Observaciones Una matriz que satisface las condiciones del teorema es NO SINGULAR

Escalado El determinante cambia MUCHO con el escalado

Observaciones No se puede usar el determinante para decidir EN FORMA NUMERICA cuántas soluciones tiene un sistema Usar RANGO para determinar cantidad de soluciones

Rango

Generalidades Un proceso numérico es inestable si errores pequeños que surgen en una etapa del proceso se magnifican en etapas posteriores, degradando la exactitud del resultado final

Sistemas fáciles de resolver Matrices diagonales Matrices triangulares inferiores Matrices triangulares superiores

Matrices diagonales

Matrices triangulares

Matrices triangulares inferiores

Matrices triangulares superiores

Resolución de sistemas lineales Métodos directos Métodos iterativos

Vectores fila de una matriz

Vectores columna de una matriz

Espacio filas de una matriz

Espacio columnas de una matriz

Teoremas Def: La dimensión común del espacio filas y columnas de A se denomina rango de A Las operaciones elementales entre filas no cambian el espacio filas de A Si A es una matriz cualquiera, entonces el espacio de filas y el de columnas de A tienen la misma dimensión

Operaciones elementales entre filas Multiplicar una fila por una constante distinta de cero Intercambiar dos filas Sumar a una fila un múltiplo de otra

Teorema Los vectores fila de una matriz A de cualquier forma canónica forman una base para el espacio filas de A

Propiedades: forma canónica (row-echelon=renglón-escalón) Si una fila no consiste de elementos todos nulos, entonces el primer número distinto de cero en la fila es un uno. (1 principal) Todas las filas con elementos todos nulos están agrupados en la zona inferior de la matriz Dadas dos filas sucesivas que tienen al menos un elemento distinto de cero, los unos principales están “escalonados”

Forma canónica reducida Si además se verifica que cada columna que contiene un 1 principal tiene ceros en todos sus otros elementos, entonces la forma se llama forma canónica reducida

Ejemplo

Bibliografía sugerida Noble págs 162-167 Gerald págs 104-116 Kincaid págs 126-134