JAVIER ALVAREZ PRESENTA comandos JAVIER ALVAREZ PRESENTA LIMITE

Limites Infinitos para x Temas Limite Limites Laterales Limites Infinitos Limites Para x  Limites Infinitos para x

Límite Sea la función y = f(x) cuyo gráfico es el de la figura y deseamos determinar para que valores de x los valores de la función distan de L menos que una cantidad    > 0 y arbitrariamente pequeña O sea para que valores entre L -  y L +  excluido el L -  y L +  y probablemente el L. En otras palabras deseamos saber para que valores de la x, la distancia entre la “y” y el valor L es <   f(x) – L  <  [1]

y y = f (x) P L +   L  2 L -  1 Q x a - 1 a a + 2

Para determinar esos valores gráficamente por L +  sobre el eje y se traza una paralela al eje x hasta cortar al gráfico de la función en el punto P y por este punto una vertical. De igual modo se procede en L -  y obtenemos el intervalo marcado en la figura en donde se cumple la condición [1]. Deseamos ahora determinar un entorno reducido del punto “a” para el cual sea válida [1]. En este caso hacemos  = 1 0 <x - a<  [2] Para determinarlo tomo por ejemplo desde x = a para la derecha y la izquierda un valor  = 1 tengo un entorno reducido del punto x = a donde se cumple [1].

y y = f (x) L +   L   L -   x a -  a a +  Como para el ejemplo de la figura analizando que para cada  > 0 fijado es posible determinar un  tal que [1] se cumple cuando [2] se cumple, se dice que L es el límite de la función y = f (x) para xa    Lím f (x) = L xa

Definición Supongamos tener una función y = f (x) definido en un entorno de un punto de abscisa x = a (excluido el punto a). Diremos que esa función tiene un límite L para xa y se escribe Lím f (x) = L xa Si para cada número  > 0 arbitrariamente pequeño es posible determinar un  > 0 tal que  f(x) – L <  para todos los x tales que 0 <x - a< 

Limites laterales Sea la función y = f (x) cuyo gráfico es el de la figura. y y = f(x) L2 L1 x a

Observamos que cuando x se aproxima a “a” por la izquierda los valores de la función se aproximan a L1. Decimos entonces que L1 es el límite de f(x) para “x” tendiendo a “a” por la izquierda   Lím f (x) = L1 xa-   En lenguaje matemático esto significa que para cada  > 0 arbitrariamente pequeño es posible determinar un número  > 0 tal que f (x) – L1<  para todos los x tales que a -  < x < a

Igualmente la figura nos muestra que cuando x se aproxima a “a” por la derecha los valores de la función se aproximan a L2.   Decimos entonces que L2 es el límite de f(x) para x tendiendo a “a” por la derecha Lím f(x) = L2 xa+   En lenguaje matemático esto significa que para cada  > 0 arbitrariamente pequeño es posible determinar un número  > 0 tal que  f (x) – L2<  para todos los x tales que a < x < a + 

Límites infinitos Supongamos tener la función f (x) cuyo gráfico es el de la figura.   Observamos que cuando x se aproxima a “a” por la derecha los valores de la función aumentan indefinidamente.   Decimos entonces que  es el límite de f(x) para x tendiendo a “a” por la derecha. Lím f (x) = + xa+   En lenguaje matemático esto significa que para cada M > 0 arbitrariamente grande es posible determinar un número  > 0 tal que f(x) > M para todos los x tales que a < x < a + .

y y = f(x) f(x) M a +  x a a +  - M f(x)

Igualmente observamos que cuando x se aproxima a “a” por la izquierda los valores de la función disminuyen indefinidamente.   Decimos entonces que -  es el límite de f(x) para x tendiendo a “a” por la izquierda. Lím f(x) = -  xa- En lenguaje matemático esto significa que para cada M > 0 arbitrariamente grande es posible determinar un número  > 0 tal que f (x) < - M para todos los x tales que a -  < x < a.

Límite para “x” tendiendo a infinito y y = f(x) Sea una función y = f (x) cuyo gráfico es el de la figura. L +  f(x) L x N

Observamos que cuando los valores positivos de x crecen indefinidamente, los valores de la función se aproximan a L.   Decimos entonces que L es el límite de f (x) para x tendiendo  , o sea: Lím f (x) = L x  En lenguaje matemático esto significa que para cada  > 0 arbitrariamente pequeño es posible determinar un número N > 0 tal quef(x) – L<  para todos los x tales que N > x.

Límites infinitos para x tendiendo a infinito Sea una función y = f (x) cuyo gráfico es el de la figura. y y = f(x) f(x) M x x N

Observamos que cuando los valores positivos de x crecen indefinidamente, los valores positivos de la función también crecen indefinidamente L.   Decimos entonces que  es el límite de f(x) para x tendiendo , o sea:   Lím f (x) =  x  En lenguaje matemático esto significa que para cada M > 0 arbitrariamente grande es posible determinar un número N > 0 tal que f (x) > M para todos los x tales que N > x.

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