Forma de Lagrange para interpolación polinomial Dra. Nélida Beatriz Brignole

Aproximación de Funciones Interpolación Cuadrados Mínimos

Dra. Nélida Beatriz Brignole Ajuste de Datos Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

Dra. Nélida Beatriz Brignole Cuadrados Mínimos Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

Dra. Nélida Beatriz Brignole Interpolación Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

Teorema (existencia y unicidad) Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

Dra. Nélida Beatriz Brignole Interpolación Lagrange Splines Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

Fórmula de Interpolación Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

Dra. Nélida Beatriz Brignole Características Matriz de coeficientes: Matriz de Vandermonde Mal condicionada Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

Dra. Nélida Beatriz Brignole Forma de Lagrange Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

Dra. Nélida Beatriz Brignole Forma de Lagrange  polinomio de interpolación de grado  n para una tabla con (n+1) puntos (asumiendo abscisas xi distintas) n diferentes formas de construir este polinomio (s algoritmos). Una alternativa es Lagrange. El polinomio de Lagrange se escribe como: Donde i(x) con 0  i  n son polinomios de grado n con la propiedad: (1.a) (1.b) Delta de Kronecker Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

Construcción del polinomio La propiedad anterior asegura que se cumplan las condiciones de interpolación. 0  i  n Derivemos la forma de los polinomios de Lagrange: Para satisfacer (1.a) i(x) debe tomar la forma: (2) Para satisfacer (1.b) debe ser: Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

Construcción del polinomio  (3) Reemplazando (3) en (2): Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

Construcción del polinomio Puede probarse que: Lo cual puede utilizarse como chequeo aritmético cuando calculamos a mano. Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

Representación para abscisas equidistantes Suele haber tablas matemáticas en las que: i   Se introduce una nueva variable s  , que mide la distancia entre x y x0 en unidades de h: Si tenemos en cuenta lo siguiente: Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

Representación para abscisas equidistantes  OBS: La representación es independiente de h Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

Existencia y unicidad del polinomio de interpolación Teorema: Si x0, x1,..., xn son números reales distintos, entonces para valores arbitrarios y0, y1,..., yn  polinomio pn de grado n tal que: (0  i  n) Demostración: a) UNICIDAD (por contradicción) Supongamos que existen dos polinomios distintos pn(x) y qn(x). Entonces, grado(pn(x))  n y grado(qn(x))  n Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

Dra. Nélida Beatriz Brignole Demostración Si generamos el polinomio diferencia:  grado(dn(x))  n (*) Como ambos polinomios interpolan a los mismos datos,  0  i  n   x0, x1,..., xn son (n+1) raíces del polinomio dn(x) Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

Demostración de unicidad  donde grado(dn(x)) = n +1 + grado(z(x)) (1) ó bien z(x)  0 (2) Si se verifica (1) Como grado(z(x))  0  grado(dn(x))  n+1 (**) Si comparo (*) con (**)   una contradicción Y lo que ocurre es (2)  dn(x) = 0  pn(x) = qn(x) CQD Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

Demostración de existencia b) EXISTENCIA (por inducción sobre el grado del polinomio) Base: n=0 (obvia) (x0,y0)  p0(x0) = cte (grado 0) p0(x0) = y0 p0(x0) = y0 = cte Hipótesis inductiva: asumo que  pk-1(x) de grado a lo sumo (k-1) tal que pk-1(xi)=yi 0  i  k-1 qpq’  pk-1(x) , grado (pk-1(x))  k tal que pk(x)=yi 0  i  k-1 Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

Demostración de existencia Construyo: Obs: pk(x) interpola los datos (xi, yi) 0  i  k-1 determinemos el coeficiente c de modo tal que pk(xk)= yk Reemplazando queda:  Como por hipótesis xk yj  k j  el polinomio es  0   c CQD Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole