ECUACIONES LINEALES

Que los alumnos adquieran una mejor comprensión del álgebra y mejoren su habilidad en el manejo de los procedimientos algebraicos, así como familiarizarse con términos que se utilizan en el cálculo algebraico. PROPÓSITO

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que sólo se cumple para algunos valores de las incógnitas. Si la ecuación contiene sólo una variable o incógnita con exponente 1, se llama ecuación lineal o de primer grado con una incógnita.

En una ecuación, la expresión algebraica del lado izquierdo del signo igual se llama primer miembro y la del lado derecho se llama segundo miembro. La resolución de una ecuación lineal con una incógnita es un procedimiento que se basa, fundamentalmente, en la propiedad de la igualdad que establece que:

Si a los miembros de una igualdad se realizan las mismas operaciones, se obtiene una nueva igualdad. Esta propiedad permite dar un enunciado que simplifica su aplicación: Cualquier término o factor de un miembro en una igualdad puede pasar al otro miembro si se cambia en la operación contraria a la que realizaba.

Las ecuaciones lineales con una incógnita más sencillas son de la forma ax + b = c Ejemplo: -2x + 7 = -6 La solución se obtiene en dos pasos. 1.- Restando 7 de los dos miembros. 2.- Dividiendo entre el coeficiente de x. Los siguientes problemas se resuelven con una ecuación lineal.

- Juan nació cuando su mamá tenía 28 años - Juan nació cuando su mamá tenía 28 años. Actualmente, la edad de la mamá de Juan es el triple que la de éste. ¿Cuántos años tiene Juan? - Resolver la ecuación 3x -5 = 7 + 5x

2.1.- Ecuaciones con paréntesis. Vamos a analizar algunos problemas que dan lugar a ecuaciones con paréntesis; las traducimos y luego, resolvemos las ecuaciones. Ejemplo: Encuentra tres números enteros consecutivos que sumen 108.

Ejemplo: Un tren salió de una ciudad a una velocidad de 50 km por hora Ejemplo: Un tren salió de una ciudad a una velocidad de 50 km por hora. Tres horas más tarde salió otro del mismo punto y en la misma dirección. Si el segundo tren iba a 75 km por hora, ¿cuánto tiempo tardó en alcanzar al primero?

A veces, las ecuaciones son fórmulas con diferentes variables A veces, las ecuaciones son fórmulas con diferentes variables. Generalmente se les llama ecuaciones literales. Estas se resuelven para una de esas variables, despejándola. Todo el procedimiento que se sigue es el mismo. Ejemplo: Resuelve para F la siguiente ecuación. 9 (C + 40) = 5 (F + 40)

Recuerda que: Para resolver ecuaciones con paréntesis procedemos así: 1°. Suprimimos los paréntesis. 2°. Resolvemos la ecuación que resulta. - Al suprimir los paréntesis, nos fijamos qué operación está indicada. Si es suma, los suprimimos sin ningún cambio.

Si es resta, los suprimimos cambiando el signo a todos los términos del paréntesis. Si es multiplicación, los suprimimos aplicando la propiedad distributiva. Ejemplo: Resolver la ecuación 27x – (3x – 9) = 3(x + 10).

Ejercicio: Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones. 1.- (3x + 4) + x = 2x – 5 2.- 9m – (m – 4) = 3 + (m – 6) 3.- -10x = -6(4 + 3x) 4.- 2x + 3(x – 2) = 18 5.- -(4x – 17) = 6(x – 3) 6.- 4(x -2) = -5(x +12)

2.2.- Ecuaciones con coeficientes fraccionarios. Una ecuación con coeficientes fraccionarios se resuelve multiplicando ambos miembros de ésta por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Se resolverán algunos problemas, a manera de ejemplo, que requieran ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios.

Ejemplo: Un problema del papiro matemático Rhind (1800 a. n Ejemplo: Un problema del papiro matemático Rhind (1800 a. n. e) dice: “Una cantidad más su sétima parte es 19”. El enunciado lleva la intención de preguntar por la cantidad. Es un enunciado simple cuya expresión simbólica es:

Ejemplo: La tercera parte de un ángulo sumada con 9° es igual a la quinta parte del mismo ángulo sumado en 11°. ¿Cuál es el valor del ángulo? El proceso de resolución de una ecuación de primer grado se basa en aplicar procedimientos algebraicos que van transformando la ecuación original en otras más simples.

Recuerda que: Para resolver ecuaciones con coeficientes fraccionarios procedemos así: 1º.- Multiplicamos toda la ecuación por el menor denominador común para quitar denominadores. 2º.- Ya convertida la ecuación a expresiones enteras, seguimos el procedimiento conocido hasta despejar la variable.

Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones con fracciones. 1.- 2.- 3.- 4.-

2.3.- Ecuaciones que se reducen a lineales, previas transformaciones algebraicas. En ocasiones se nos presentan ecuaciones que pueden ser expresadas como otras ecuaciones lineales, después de varias transformaciones algebraicas. Algunas son las llamadas ecuaciones literales que se resuelven para una u otras variables.

Ejemplo: Resolver para y la ecuación 3x – 6y = 8 Ejemplo: Resolver para C la fórmula F = 9/5 C + 32 Algunas ecuaciones aparentemente no son lineales porque la incógnita se encuentra elevada a un exponente mayor que 1 o

aparece en el denominador de una fracción; para resolverlas, es necesario realizar operaciones que no alteren la igualdad. Ejemplo: Resolver la ecuación 2x (x + 5) = -x (10 – 2x) + 100

4.- 5 (x + a) = 10 (x – 2a) despeja “x” Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones. 1.- x2 – 2x + 15 = x + x2 – 3 2.- -2m2 – 3m = m (-2x – 6) – 930 3.- 5c + 8d = 13 despeja “d” 4.- 5 (x + a) = 10 (x – 2a) despeja “x” 5.- (w – 1) (w + 1) = w2 – 2w + 3 6.- (a + 8)2 + 12 = (-a – 2)2 – 5