2. La probabilidad de encontrar una partícula con función de onda  en un volumen dx dy dz es  * dx dy dz. El producto  * esta normalizado de tal forma que Una vez que se encuentra la función de onda  para un partícula, se puede calcular su posición promedio, energía y momento dentro de los límites que establece el principio de incertidumbre. La mayor parte del esfuerzo en cálculos cuánticos tiene que ver con la solución de  con condiciones para un sistema físico particular. Se asume que la función de densidad de probabilidad es  *, o ׀  ׀2.

3. La expresión correspondiente a la energía total de un sistema clásico está dada por: Tratándose de cantidades clásicas como la energía E y el momento p, se deben relacionar estas cantidades con operadores de mecánica cuántica permitiendo a esos operadores funcionar sobre la función de onda como lo dicta la mecánica clásica. (1)

(2) Por lo tanto, en (1) p2 debe ser: Siendo los componentes cartesianos del operador cuántico  del momento: Y los operadores correspondientes a los componentes del momento, px, py, pz : Por lo tanto, en (1) p2 debe ser: (2)

Ecuación de Schrödinger Sustituyendo (2) en la ecuación clásica de la energía (1), e introduciendo la función de onda para un electrón libre (3) Ecuación de Schrödinger

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo Otra forma de escribir la ecuación de Schrödinger (4) (5) La solución a la ecuación de Schrödinger es (6) La ecuación de Schrödinger queda entonces como (7) donde Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

 La función de onda independiente del tiempo (r) y sus derivadas con respecto a las coordenadas espaciales debe ser continua.  Estos requisitos se usan para establecer las condiciones de frontera para encontrar soluciones a la ecuación de Schrödinger.  Vamos a considerar la solución para dos casos importantes: para el espacio libre y, para un pozo de potencial infinito en una dimensión. SOLUCION EN EL ESPACIO LIBRE, considerando U=0, la ecuación de Schrödinger se reduce: (8) Consideremos el movimiento del electrón en una dirección, x, de tal forma que

(9) (10) (11) (12) La ecuación (8) se simplifica La solución a la ecuación diferencial (9) esta dada por (10) el vector de onda k es (11) Usando la relación de de Broglie ,el momento del electrón y se obtiene que (12)

(13) De (11) y (12) se encuentra que La solución dada por la ecuación (10) es consistente con la función de onda de Broglie para una partícula libre. Sustituyendo (10) en (6) se obtiene ¡El movimiento del electrón se describe por una onda plana!. La relación entre la energía y la frecuencia es la misma que para los fotones Demostrando la dualidad onda-partícula.

SOLUCION EN UN POZO DE POTENCIAL INFINITO La partícula en un pozo de potencial infinito es un problema que consiste de una sola partícula que rebota dentro de un pozo del cual no puede escapar, y donde no pierde energía al colisionar contra sus paredes.

(10) Dentro del pozo de potencial, la solución de  esta dada por: ya que U=0 (espacio libre) En las regiones donde U=, =0, por lo que: (10) Usando el valor de  para x=0 se encuentra de la ecuación (10) que A1=-B1, lo que da: donde

El valor de  para x=a lleva a la condición sen(ka)=0, por lo que ka=n, que : el valor de n=1,2,3,4,…(cualquier número positivo) es llamado número cuántico. La constante de normalización A, se puede encontrar de: Que es la probabilidad de encontrar una partícula con función de onda  en una distancia dx.

Los puntos donde la función de onda es cero se llaman nodos. Esta condición quiere decir que la partícula está localizada dentro del pozo de potencial, así la probabilidad de encontrarla es la unidad. Usando la última ecuación se obtiene A=(2/a)1/2. De la que Los puntos donde la función de onda es cero se llaman nodos. n=3 n=2 n=1

La energía de un partícula en el pozo de potencial puede tener solo valores discretos (¡cuantizados!), llamados niveles de energía.

TUNELEO  Las funciones de onda son relativamente fáciles de obtener para el pozo de potencial con paredes infinitas, mientras que las condiciones de frontera establezcan que  es cero en las paredes. Una pequeña modificación de este problema ilustra un principio que es muy importante en algunos dispositivos de estado sólido – el tuneleo de mecánica cuántica de un electrón a través de una barrera de altura y espesor finito. Si el potencial no es infinito, las condiciones de frontera no establecen que  sea cero en los extremos de la barrera. En vez de esto, se debe usar la condición de que  y su pendiente d/dx sean continuos en cada frontera de la barrera. De esta manera  tiene un valor diferente de cero dentro de la barrera y también en el extremo.

 Debido a que  tiene un valor a la derecha de la barrera,   Debido a que  tiene un valor a la derecha de la barrera,  * también existe, lo que implica que exista la probabilidad de encontrar un electrón más allá de la barrera. La partícula no va por arriba de la barrera, su energía total se asume es menor que la altura de potencial Vo . El mecanismo por el cual la partícula “atraviesa” la barrera, se llama de tuneleo. No existe un fenómeno análogo en la física clásica.

 El tuneleo esta ligado íntimamente al principio de incertidumbre  El tuneleo esta ligado íntimamente al principio de incertidumbre. Si la barrera es lo suficientemente delgada, no se puede decir con certeza que la partícula existe solo de un lado. Sin embargo, la amplitud de la función de onda para la partícula se reduce por la barrera, de tal manera que el espesor W se hace mayor, reduciendo  en el lado derecho al punto de que el tuneleo sea despreciable.  El tuneleo es importante para dimensiones muy pequeñas, y puede ser muy importante en la conducción de los electrones en sólidos.