SISTEMAS AXIOMÁTICOS ABSTRACTOS Qué se hace realmente cuando se hacen matemáticas, y por qué las posturas filosóficas no afectan ese quehacer.

EJEMPLOS DE AXIOMAS GEOMÉTRICOS: Se puede trazar una recta desde un punto cualquiera hasta otro punto cualquiera. (2) Una recta finita puede prolongarse ilimitadamente. (3) Dada una recta, existe al menos un punto externo a ella (y a su prolongación ilimitada, si era finita).

DEFINICIONES Y EXPLICACIONES: Un punto es lo que no tiene partes o dimensión. (2) Una línea es una longitud sin anchura. (3) Los extremos de una línea finita son puntos. (4) Una recta es una línea que tiene todos sus puntos en la misma dirección. (5) Figuras triláteras, o triángulos, son las contenidas entre tres rectas.

DEFINICIONES Y EXPLICACIONES: Un punto es lo que no tiene partes o dimensión. (2) Una línea es una longitud sin anchura. (3) Los extremos de una línea finita son puntos. (4) Una recta es una línea que tiene todos sus puntos en la misma dirección. (5) Figuras triláteras, o triángulos, son las contenidas entre tres rectas. AXIOMAS: Se puede trazar una recta desde un punto cualquiera hasta otro punto cualquiera. (2) Una recta finita puede prolongarse ilimitadamente. (3) Dada una recta, existe al menos un punto externo a ella (y a su prolongación ilimitada, si era finita).

DEFINICIONES Y EXPLICACIONES: Un punto es lo que no tiene partes o dimensión. (2) Una línea es una longitud sin anchura. (3) Los extremos de una línea finita son puntos. (4) Una recta es una línea que tiene todos sus puntos en la misma dirección. (5) Figuras triláteras, o triángulos, son las contenidas entre tres rectas. AXIOMAS: Se puede trazar una recta desde un punto cualquiera hasta otro punto cualquiera. (2) Una recta finita puede prolongarse ilimitadamente. (3) Dada una recta, existe al menos un punto externo a ella (y a su prolongación ilimitada, si era finita). TEOREMA: Dado un segmento recto AB, se puede trazar un triángulo tal que uno de sus lados es AB. Demostración: Por axioma (3) existe un punto P externo a AB. Por axioma (1) se pueden trazar rectas PA y PB. Por definición (5) las tres rectas PA, AB y PB determinan un triángulo.

DEFINICIONES Y EXPLICACIONES: Un punto es … (2) Una línea es … (3) Los extremos de una línea finita son puntos. (4) Una recta es … (5) Figuras triláteras, o triángulos, son las contenidas entre tres rectas. AXIOMAS: Se puede trazar una recta desde un punto cualquiera hasta otro punto cualquiera. (2) Una recta finita puede prolongarse ilimitadamente. (3) Dada una recta, existe al menos un punto externo a ella (y a su prolongación ilimitada, si era finita). TEOREMA: Dado un segmento recto AB, se puede trazar un triángulo tal que uno de sus lados es AB. Demostración: Por axioma (3) existe un punto P externo a AB. Por axioma (1) se pueden trazar rectas PA y PB. Por definición (5) las tres rectas PA, AB y PB determinan un triángulo.

DEFINICIONES Y EXPLICACIONES: Un punto es … (2) Una línea es … (3) Los extremos de una línea finita son puntos. (4) Una recta es … AXIOMAS: Se puede trazar una recta desde un punto cualquiera hasta otro punto cualquiera. (2) Una recta finita puede prolongarse ilimitadamente. (3) Dada una recta, existe al menos un punto externo a ella (y a su prolongación ilimitada, si era finita). TEOREMA: Dado un segmento recto AB, se puede construir una figura contenida entre tres rectas tal que una de esas rectas es AB. Demostración: Por axioma (3) existe un punto P externo a AB. Por axioma (1) se pueden trazar rectas PA y PB. Hemos construido la figura contenida entre las tres rectas PA, AB y PB.

Howard Eves, en “Estudio de las Geometrías”: - Moritz Pasch, en 1882, aceptó términos como “punto” o “recta” como primitivos, o irreducibles, considerándolos definidos implícitamente por los postulados. Aunque el origen de éstos podía hallarse en consideraciones empíricas, resaltó que se debían enunciar sin considerar ninguna significación empírica. Declaró que una ciencia verdaderamente deductiva demanda que todas las deducciones lógicas deben ser independientes de cualquier significado de los conceptos. De hecho, si en un punto de una demostración se hace necesario referirse a interpretaciones específicas de los términos básicos, eso constituye evidencia de que la demostración es lógicamente inadecuada.

Howard Eves, en “Estudio de las Geometrías”: - Moritz Pasch, en 1882, aceptó términos como “punto” o “recta” como primitivos, o irreducibles, considerándolos definidos implícitamente por los postulados. Aunque el origen de éstos podía hallarse en consideraciones empíricas, resaltó que se debían enunciar sin considerar ninguna significación empírica. Declaró que una ciencia verdaderamente deductiva demanda que todas las deducciones lógicas deben ser independientes de cualquier significado de los conceptos. De hecho, si en un punto de una demostración se hace necesario referirse a interpretaciones específicas de los términos básicos, eso constituye evidencia de que la demostración es lógicamente inadecuada. - David Hilbert, en sus “Fundamentos de la Geometría” (1899), toma como expresiones no definidas “punto”, “recta”, “sobre”, “entre” y “congruente”. Esta obra fue de gran influencia: no sólo tuvo éxito en convencer al mundo matemático de la naturaleza puramente hipoteticodeductiva de la geometría, sino que, además, debido a la gran autoridad matemática de Hilbert, implantó firmemente el método axiomático en todas las ramas de la matemática.

UN SISTEMA AXIOMÁTICO ABSTRACTO CONSTA DE: - Expresiones no definidas. - Expresiones definidas (optativas). - Axiomas. - Teoremas.

UN SISTEMA AXIOMÁTICO ABSTRACTO CONSTA DE: - Expresiones no definidas. - Expresiones definidas (optativas). - Axiomas. - Teoremas.

Jean Dieudonné (“The Work of Nicholas Bourbaki” Jean Dieudonné (“The Work of Nicholas Bourbaki”. American Mathematical Monthly, 77, p. 145, 1970): […] Nosotros creemos en la realidad de las matemáticas, pero claro, cuando los filósofos nos atacan con sus paradojas, corremos a escondernos detrás del formalismo y decimos: “la matemática es sólo una combinación de símbolos carentes de significado” […] Finalmente se nos deja en paz para regresar a nuestra matemática, a hacerla como siempre la hemos hecho, con la sensación que cada matemático tiene de que está trabajando con algo real. […]

Jean Dieudonné (“The Work of Nicholas Bourbaki” Jean Dieudonné (“The Work of Nicholas Bourbaki”. American Mathematical Monthly, 77, p. 145, 1970): […] Nosotros creemos en la realidad de las matemáticas, pero claro, cuando los filósofos nos atacan con sus paradojas, corremos a escondernos detrás del formalismo y decimos: “la matemática es sólo una combinación de símbolos carentes de significado” […] Finalmente se nos deja en paz para regresar a nuestra matemática, a hacerla como siempre la hemos hecho, con la sensación que cada matemático tiene de que está trabajando con algo real. Esta sensación es probablemente una ilusión, pero es muy conveniente.

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