PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR Señales matemáticas 2018 Clases expositivas en diapositivas animadas . Realización : Prof. LUIS ERNESTO FIORANTE Profesor Luis Ernesto Fiorante

PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Profesor Luis Ernesto Fiorante Profesor Luis Ernesto Fiorante

PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE 2DO. ORDEN - con coeficientes constantes. Ecuación diferencial lineal de segundo orden: c2 y’’ + c1 y’ + c0 y = t(x) ʌ y = ƒ(x) comenzaremos un estudio de aquellas ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes y segundo miembro cero : t(x) = 0 c2 y’’ + c1 y’ + c0 y = 0 ecuacion diferencial lineal con coeficientes constantes denominada HOMOGENEA Profesor Luis Ernesto Fiorante Profesor Luis Ernesto Fiorante

Profesor Luis Ernesto Fiorante PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR c2 y’’ + c1 y’ + c0 y = 0 (1) Consideremos una o varias posibles soluciones : y = e r x derivamos y sustituimos en el miembro izquierdo de la ecuación diferencial (1) y’ = r e r x , y’’ = r 2 e r x En (1) : c2 r 2 e r x + c1 r e r x + c0 e r x = e r x = ( c2 r 2 + c1 r + c0 ) Para que y = e r x sea solución la constante r es solución de la ecuación denominada CARACTERISTICA c2 r 2 + c1 r + c0 = 0 Profesor Luis Ernesto Fiorante

Profesor Luis Ernesto Fiorante PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR c2 r 2 + c1 r + co = 0 Ecuación característica : PRIMER CASO c12 – 4 c2 . co > 0 Determinamos las soluciones , en este caso dos reales distintas : a ≠ b , r = a ˅ r = b B = { e a x , e b x } Conjunto base de dos soluciones particulares linealmente independientes . Esto significa que : La solución general es : y = k1 e a x + k2 e b x . Profesor Luis Ernesto Fiorante

Profesor Luis Ernesto Fiorante EJEMPLIFICAMOS EL PROCEDIMIENTO EN UN EJERCICIO. Profesor Luis Ernesto Fiorante

Profesor Luis Ernesto Fiorante PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR 2 y’’ + 8 y’ – 90 y = 0 La ecuación característica asociada : 2 r 2 + 8 r – 90 = 0 = 2 ( r – 5 ) ( r + 9 ) r = 5  r = – 9 ▲ soluciones - raíces reales distintas del polinomio B = { e 5 x , e - 9 x } La solución general es : y = k1 e 5 x + k2 e - 9 x Profesor Luis Ernesto Fiorante

Profesor Luis Ernesto Fiorante PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR c2 y’’ + c1 y’ + c0 y = 0 (1) Si c12 – 4 c2.c0 = 0 y r : raíz doble entonces 2 r = – c1 / c2 Consideremos una posible solución: y = x e r x, si la ecuación característica tiene una sola solución . Derivamos y sustituimos en el miembro izquierdo de la ecuación diferencial lineal : y’ = e r x + x r e r x, y’’ = r e r x + r e r x + x r 2 e r x En (1): c2 (2r er x + x r2 er x) + c1(er x + x r er x) + c0 x er x = x er x ( c2 r 2 + c1 r + c0 ) + er x ( c2 2 r + c1 ) = c2 2 r + c1 = c2(– c1/c2) + c1 = 0 Para que y = x e r x sea solución la constante r es única solución de la ecuación CARACTERISTICA : c2 r 2 + c1 r + c0 = 0 Profesor Luis Ernesto Fiorante

Conjunto base de dos soluciones particulares . PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR Ecuación característica : c2 r 2 + c1 r + co = 0 SEGUNDO CASO c12 – 4 c2 . co = 0 En este caso una sola solución real doble : r = a B = { e a x , x . e a x } Conjunto base de dos soluciones particulares . B = { e a x , x . e a x } Conjunto base de dos soluciones particulares linealmente independientes . Esto significa que : La solución general es : y = k1 e a x + k2 x e a x . Profesor Luis Ernesto Fiorante

Profesor Luis Ernesto Fiorante EJEMPLIFICAMOS EL PROCEDIMIENTO EN UN EJERCICIO. Profesor Luis Ernesto Fiorante

Profesor Luis Ernesto Fiorante PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR 4 y’’ – 40 y’ + 100 y = 0 La ecuación característica asociada : 4 r 2 – 40 r + 100 = 0 = 4 ( r – 5 ) ( r – 5 ) r = 5 ◄ solución única - raíz doble del polinomio B = { e 5 x , x e 5 x } La solución general es : y = k1 e 5 x + k2 x e 5 x Profesor Luis Ernesto Fiorante

Profesor Luis Ernesto Fiorante c2 y’’ + c1 y’ + c0 y = 0 (1) PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR Si c2 r2+ c1 r+ co = 0, c12 – 4c2.co < 0 y r = a + bi ˅ r = a – bi entonces 2a = – c1/c2 y c2 (a2 – b2) + c1 a + co = 0 Consideremos una posible solución : y = g(x) eax si la ecuación característica tiene soluciones complejas imaginarias conjugadas , discriminante negativo. Si g(x) = cos (b x) ó g(x) = sen (b x) con - b2 g(x) = g’’(x) Derivamos y sustituimos en el miembro izquierdo de la ecuación diferencial c1 y’ = c1 ( g’(x) eax + g(x) a eax ) , c2 y’’= c2 ( g’’(x) eax + 2 g’(x) a eax + g(x) a2 eax ) , co y = co g(x) eax En (1): g(x) eax (c2 a2+c1 a + co) + g’(x) eax(2a c2 + c1) + c2 g’’(x) eax = RECORDANDO - b2 g(x) = g’’(x) g(x)eax(c2 (a2 – b2) + c1 a+co)+g’(x)eax(2ab c2+b c1) = c2 (a2 – b2) + c1 a + co = 0 2a b c2+ b c1= c2(– c1/c2) b+ b c1= 0 Para que y = g(x) ea x sea solución , a + b i y a – b i son soluciones complejas imaginarias conjugadas de c2 r 2 + c1 r + co = 0 Profesor Luis Ernesto Fiorante

Profesor Luis Ernesto Fiorante PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR c2 r 2 + c1 r + co = 0 Ecuación característica : TERCER CASO c12 – 4 c2 . c0 < 0 Las soluciones en este caso dos complejos imaginarios conjugados : b ≠ 0 , r = a + b i ˅ r = a – b i B = { e a x cos (b x) , e a x sen (b x) } Conjunto base de dos soluciones particulares linealmente independientes . Esto significa que : La solución general es : y = e a x ( k1 cos ( b x ) + k2 sen ( b x ) ) . Profesor Luis Ernesto Fiorante

Profesor Luis Ernesto Fiorante EJEMPLIFICAMOS EL PROCEDIMIENTO EN UN EJERCICIO. Profesor Luis Ernesto Fiorante

Profesor Luis Ernesto Fiorante PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR 9 y’’ – 36 y’ + 45 y = 0 La ecuación característica asociada : 9 r 2 – 36 r + 45 = 0 = 9 ( r – 2 ) 2 + 9 r = 2 – 1 i  r = 2 + 1 i ▲ soluciones no reales – raíces complejas imaginarias del polinomio. B = { e 2x cos (1 x) , e 2x sen (1 x) } La solución general es : y = e 2 x ( k1 cos x + k2 sen x ) Profesor Luis Ernesto Fiorante

Profesor Luis Ernesto Fiorante HASTA PRONTO … Ahora lo que sigue es tu voluntad de estudiar y ejercitar el tema. jueves, 03 de enero de 2019 2018 . Profesor Luis Ernesto Fiorante