Rafael A. Valls Hidalgo-Gato 1* About the Structure of Prime Numbers Sobre la Estructura de los Números Primos Rafael A. Valls Hidalgo-Gato 1* 1* Instituto de Cibernética, Matemática y Física (ICIMAF) Calle 15 No.551 e/C y D, Plaza, La Habana, Cuba Tel. 7832-5026 valls@icimaf.cu

1.Introducción Tema de la Teoría Elemental de Números Sin aproximaciones o probabilidades Potencial aplicación en seguridad informática Determinación de los números primos no superiores a un natural dado n por eliminación ordenada de sus múltiplos. Criba de Eratóstenes. La novedad es que describiremos un procedimiento que va eliminando todos los infinitos múltiplos de un primo, no solo los no superiores a n.

2. Los conjuntos qk de enteros c coprimos con el producto de los primeros k primos Pk= 2.3.5….pk = p1.p2.p3....pk c pertenece a qk si (y solo si) MCD(c, Pk)=1 Definición 2.3. Para todo natural k, qk(i) es la secuencia ordenada infinita (en ambos sentidos) del conjunto qk, con qk(-i) = -qk(i) para todo entero i≠0. qk(0) no se define y qk(±1) = ±1. Se acepta que q0=Z es el conjunto de enteros (negativos, 0 y positivos).

3. Las secuencias ordenadas dk(i) de las diferencias naturales de elementos consecutivos de qk(i) Definición 3.1. Para i>0, dk(i)= qk(i+1) - qk(i); para i<0, dk(i)= qk(i) - qk(i-1); para i=0, dk(i)=2. q0(i)=…,-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,… q1(i)=…,-5, -3, -1, 1, 3, 5,… d1(i)=…, 2, 2, 2, 2, 2,… qk(+i)= dk(0)/2+ dk(1)+ dk(2)+ dk(3)+…+dk(i) (3.1) Teorema 3.1. Para todo natural k, pk+1 es el menor natural >1 del conjunto qk

Período {dk(i)} de dk(i) qk+1(i) se obtiene excluyendo de qk(i) todos los múltiplos de pk+1 q1(+i) = 1, 3, 5, 7, 9,11,13,15,17,19,21,23,25,… q2(+i) = 1, 5, 7, 11,13, 17,19, 23,25,… d2(+i) = {4, 2}, {4, 2}, {4, 2}, {4, 2}, … Qk= │{dk(i)}│= ϕ(Pk) = (p1-1)(p2-1)…(pk-1) Q2 = (2-1)(3-1) = 2

Derivando {dk+1(i)} de {dk(i)} k=2, {d2(i)} = {4,2}. a) Próximo primo pk+1= d2(1)+1= 4+1= p3= 5. b) Repitiendo pk+1veces el {dk(i)}. 4,2,4,2,4,2,4,2,4,2. c) Sumar a 1 (uno a uno) los elementos de la anterior secuencia, marcando (‘) los que el resultado sea múltiplo de pk+1. 4’,2,4,2,4,2,4,2’,4,2. d) Sustituir cada pareja de elementos marcados y el siguiente por su suma. El siguiente período es {dk+1(i)} = {6,4,2,4,2,4,6,2} con │{dk+1(i)}│= ϕ(Pk+1) = (2-1)(3-1)(5-1) = 8 elementos.

4. Procedimiento general para obtener dk+1(i) de dk(i) a) Determine el siguiente primo pk+1= 1+dk(1). b) Comience a construir el período {dk+1 (i)} repitiendo pk+1 veces el {dk(i)}. c) Prepare la exclusión de todos los múltiplos de pk+1, comenzando la sumatoria (3.1) con el acumulador ac=0 e i=0, marcando (‘) el correspondiente elemento cada vez que ac=pk+1dk(i) y retornando ac=0. Pare después de Qk marcas. d) Para excluir todos los pk+1 múltiplos, substituya cada elemento marcado y el siguiente por su suma. Pare después de Qk substituciones.

5. Sistema de numeración posicional con pk como base variable En el sistema con base constante b=10, una cifra c= 0, 1, 2, …, 9 en posición k representa el valor c.10k. Proponemos un sistema análogo donde la cifra c=0, 1, …, (pk-1) en posición k representa el valor c.Pk

Ejemplo de Sistema Primo: 431087329 431087329 = 215543664 x 2 + 1 1 x P0 = 1 P0 = 1 215543664 = 71847888 x 3 + 0 0 x P1 = 0 P1 = 2 71847888 = 14369577 x 5 + 3 3 x P2 = 18 P2 = 6 14369577 = 2052796 x 7 + 5 5 x P3 = 150 P3 = 30 2052796 = 186617 x 11 + 9 9 x P4 = 1890 P4 = 210 186617 = 14355 x 13 + 2 2 x P5 = 4620 P5 = 2310 14355 = 844 x 17 + 7 7 x P6 = 210210 P6 = 30030 844 = 44 x 19 + 8 8 x P7 = 4084080 P7 = 519510 44 = 1 x 23 + 21 21 x P8 = 203693490 P8 = 9699690 1 = 29 x 0 + 1 1 x P9 = 223092870 P9=223092870 ……………………………………………………………………………… 1(21)87295301p = 43108732910

6. Conclusiones Un posible procedimiento recurrente eficiente para determinar los números primos es alcanzado, lo que apunta a algunas aplicaciones incluyendo factorización y pertenencia al conjunto de primos. Un detallado análisis de la complejidad algorítmica del procedimiento es necesaria y falta por hacer. A possible efficient recurrent procedure to determine the prime numbers is reached, what points to some applications including factorization and primality. A detailed analysis of the algorithmic complexity of the procedure is necessary and still for done.

7. Referencias [1] Sierpinski, Waclaw (1964), “Elementary Number Theory”, Poland Academy of Science.

Fin End