Progresiones. La esencia de la matemática no es hacer las cosas simples complicadas, sino hacer las cosas complicadas simples (S. Gudder) Montoya.

Una progresión aplicada a la geometría.

Un desafío. Un carpintero desea construir una escalera con nueve barrotes cuyas longitudes disminuyan de manera uniforme de 24 pulgadas en la base a 18 pulgadas en la parte superior. Se pide determinar las longitudes de los siete barrotes intermedios y la longitud total de la madera a utilizar.

PROGRESIONES Y SERIES Concepto: Es toda sucesión en la que siempre entre dos términos consecutivos cualquiera de ella hay una misma relación. Ejemplo La sucesión 𝑎 𝑛 : 6, 9, 12,15… Es una progresión. En este caso se comprueba que cada número, después del primero, tiene una diferencia tres unidades con el anterior o el siguiente. La sucesión 𝑎 𝑛 : 4, 8, 16,32… es una progresión. En ella cada término. Después del primero, se obtiene multiplicando el anterior por dos. La sucesión 2, 6, 12, 20… n(n 1), no es una progresión, pues no hay una relación constante entre dos términos consecutivos.

En general

Progresión aritmética. Definición formal: Es una sucesión de números en la cual la diferencia de dos términos sucesivos cualquiera de la secuencia , es una cantidad constante llamada diferencia de la progresión, suele llamarse también distancia e incluso razón aritmética(no recomiendo este término , pues se confunde con otro tipo de progresión)

Razón o diferencia de una progresión aritmética. Sea , ÷ a1, a2, a3……...an-1, an Entonces: d= an – an-1 La razón aritmética corresponde a la diferencia entre un término y el inmediatamente anterior. Además se puede escribir: ÷ 𝑎 𝑛 : a1, a2 + d, a3 + 2d, a1 + 3d……… a1 + (n-1)d Luego el término general se puede escribir como: 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑛−1 𝑑

Significado de cada término. 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑛−1 𝑑 Dónde: 𝑎 𝑛 : Término enésimo 𝑎 1 : Primer, término n : Número de términos d: razón o diferencia aritmética.

Propiedades de las progresiones aritméticas: Propiedad: La suma de los términos equidistantes de los extremos es equivalente a las suma de los extremos. En efecto, si b y f son dos términos equidistantes de los extremos a y c, podemos escribir: 𝑏=𝑎+ 𝑛−1 𝑑 𝑓=𝑐+ 𝑛−1 𝑑 Restando ambas igualdades , se obtiene, 𝑏+𝑐=𝑎+𝑓 ; Σ extremos = Σ equidistantes

Suma de los primeros enésimos términos. Consideremos: 0 0 a1, a2, a3……an-2, an-1, an Consideremos la PA, dispuesta de dos formas diferentes, Sumando ambas igualdades , se obtiene: 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + ….. + (an + a1) En donde hay "n" binomios cuya suma son todas equivalentes de acuerdo a la propiedad fundamental. Entonces 2Sn = n(a1 + an) Sn = a1 + a2 + a3 + ….. + an-2 + an-1 + an Sn = an + an-1 + an-2 + ….. + a3 + a2 + a1

Finalmente 𝑆 𝑛 = 𝑛 2 ( 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 ) Ejemplo: En la P.A. ÷ 4, 9, 14…. Entonces calculemos el término que ocupa la posición nº 12 (décimo segundo término) a12 = 𝑎 1 + 11d a12 = 4 + 11*5 ; d =5 14 – 9 = 9 – 4 = 5 a12 = 59

Interpolación de medios aritméticos Ejemplo: Interpolar 4 medios aritméticos entre 4 y 8 Procedemos como se indica: n = 6 a1 = 4 a6 = 8 luego a6 = a1 + 5d 8 = 4 + 5d 4 = 5d d= 4 5 𝑎 2 =4+ 4 5 =4 4 5 𝑎 3 =4 4 5 + 4 5 =5 3 5 𝑎 4 =5 3 5 + 4 5 =6 2 5 𝑎 5 =6 2 5 + 4 5 =7 1 5

CASO ESPECIAL: Medio aritmético En toda P.A un término cualquiera ( a excepción del 1°) equivale al promedio aritmético entre el anterior y el siguiente Esto es 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛+1 2 En efecto, si al razón aritmética es d.  𝑎 𝑛+1 = 𝑎 1 + 𝑛+1−1 𝑑 𝑎 𝑛−1 = 𝑎 1 + 𝑛−1−1 𝑑 𝑎 𝑛+1 +𝑎 𝑛−1 = 𝑎 1 + 𝑛 𝑑+ 𝑎 1 + 𝑛−2 𝑑 𝑎 𝑛+1 +𝑎 𝑛−1 =2 𝑎 1 +𝑛𝑑++𝑛𝑑−2𝑑 𝑎 𝑛+1 +𝑎 𝑛−1 2 = 𝑎 1 + 𝑛−1 𝑑 𝑎 𝑛+1 +𝑎 𝑛−1 2 = 𝑎 𝑛

OBSERVACIÓN: Importante Cuando el número de términos de la progresión aritmética es finita impar el término central 𝑡 𝑚 equivale al promedio de los términos extremos o al promedio de dos equidistantes de los mismos. 𝑡 𝑚 = 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 2

Ejercicios de aplicación. 1.- Formar la progresión aritmética, dados: a) a=7 d=5 n=9 b) a=74 d= -12 n=8 c) u=100 d= 15 n=7 d) a=8 d= 2 ¾ n=7 2.-Determinar la razón de las progresiones siguientes: a) 13, 20, 27, 34, …. b) 68, 59, 50, 41, … c) 5 ½, 8 ¼, 11, 12 ¾, …

3.-En una progresión aritmética, en el céntimo término es 35 y el noveno, 83.calcular el octavo término y la razón 4.-En una progresión aritmética, el quinto término es 24 5/6 y el séptimo es 90 ¾. Calcular el sexto término y la razón. 5.-Expresa el valor general del 4°, del 6°, del 10°, del 15°, del 20°, del 35°, del 40° términos de una progresión aritmética 6.- Calcular en las progresiones siguiente el término que se indica: a)14,19,….; calcular el 16° término. b)15,24,33,….; calcular el 12 término c)8,20,32, ….; calcular el 21° y 55° términos d)6¾,9,11 ¼,….; Calcular el 15° término e)-12,4,-9,15,9,-19,2,….;calcular el 25° término f) 95, 84, 73, ….; calcular el 32° termino

7.- Dados: a)a=12, d=7, n=15; calcular u. b)u=153, d=11, n=14; calcular a. c)a=23, u=131, n= 13; calcular d d) a=15, u=145, d=10; calcular n. 8.- La suma de los extremos de una progresión aritmética de 12 términos es 148 y el 5° término es 56. Calcular el 8° término 9.- a+u= 190, n= 11. Calcular el 6° término.

10.- Calcular la suma de los términos de una progresión aritmética dados: a) a=20, u=185, n=12, : b) a=340, u=200, n=15 c) a=15, n=14, d= 9 : d) a=113, u=17, d=-6 e) a=160, n=14, d=-12 : f) u=120, n=16, d=6 g) n=-7 4° termino=36 : h) n=14, 5° término=50, 10°=94 11.-Calcular el primer término de la progresión dados: a) u=124, n=24, d=5 : b) u=12, d= -7 c) s=1029, u=132, n= 14 : d) s= 1343, n=17, d=8 e) s=150, u=55, d=5 : f) s=520, n=13, 6° término=35 y 8°=45

12.-Calcular la diferencia, dados: a) a=24, u=120, n=17 : b) a=99, n=10, u=9 c) s=880, a=5, n=11 : d) s=1035, a=10, u=80 e) s=2133, u=34, n=18 13.-Calcular el número de términos dados: a) a=13, d=10, u=133 : b) a=14, u=120, s=1005 c) a=20, d=5, s=1020 : d) d=4, u=50. S=330 e) s=504 y el termino equidistantes de los extremos es 56. f) s=1692, 7° término=69 y 12°=119; estos términos equidistantes de los extremos.

14.- Interpolar (intercalar) entre 23 y 87 tres términos de modo que resulte una progresión aritmética. 15.- Idem 4 términos entre 24 y 84. 16.- Idem 6 términos entre 13 y 125. 17.- el término medio de una progresión aritmética de 9 términos es 27, ¿Cuál es la suma de los 9 términos. 18.- El término medio de una progresión aritmética es 51 y la suma es 867.Calcular s.

20. -Dados: s=1935, d=11 y n=15 ; calcular a. 21 20.-Dados: s=1935, d=11 y n=15 ; calcular a. 21.-Dados: s=988, a=10, n=13 ; calcular d. 22.-Dados: s=1040, a=20, d=6 ; calcular n. 23.-Dados: s=896, n=14, u-a=104 ; calcular a, u y d. 24.-Dados: s=336, a=50, d= -4 ; calcular n y u. 25.-Dados: a=7, n=18, d=6 ; calcular s y u. 26.-Dados: s=960, a=120, n=16 ; calcular d y u. 27.-Dados: s=2120, d=8, n=20 ; calcular a y u. 28.-Dados: d=2 ½, n=25, u=60 ; calcular a y s. 29.- Dados: a=15, u=135, s=975 ; calcular d y n.

30.- Determinar una fórmula para calcular la suma de los n primero números y otra para la suma de los n primeros números impares. Aplicaciones. 31.- El sexto término de una progresión aritmética es 66 y el 13´ es 136. Formar la progresión. (RP: 16,26 …) 32.- En una progresión aritmética, la suma del 4° termino con el 12° es 116 y la del 9° termino con el 15° es 172 Calcular a y d. 33.- El 14° menos el 5° término de una progresión aritmética es 54 y el 11° es 79. Formar la progresión.

34.-La suma de 11 términos de una progresión aritmética es 363 y el 8° términos menos el 3° es 25. Calcular a y d 35.-El producto del 5° término por el 2° es 364 y la diferencia de estos términos es 15. Formar la progresión si a es positivo. 36.-En una progresión aritmética de 10 términos el producto de los dos términos que ocupan los lugares medios es 195 y la suma del 3° con el 9° es 30. Calcular a y d. (a=5; d=2)

37. -Se canceló una deuda de modo que el primer pago fue E´ 15 37.-Se canceló una deuda de modo que el primer pago fue E´ 15. El último pago fue de E´ 230. ¿Cuál era la deuda y en cuantos pagos se canceló? (RP: n=13; deuda: $1820) 38.-Repartir E´ 1000 entre 16 personas de modo que cada persona reciba E´ 5 más que la anterior. ¿Cuánto recibe la primera y la última? (a1: 25 ; a16 : 100)   39.-En una carrera de fijaron los premios de modo que cada jinete recibiera E´ 45 menos que el anterior. El que gano la carrera recibió E´360 y los demás, en suma, E´990. ¿Cuántos eran los jinetes y cuanto recibió el último? (RP: n=5 ; a5 = 180)

40.-Once personas reciben en suma E´ 880 y sus partes forman una progresión aritmética creciente. ¿Cuánto recibe la primera y la última si la diferencia de sus partes es E´ 30? 41.-Un cuerpo, al caer, recorre 4,9m en el primer segundo y en cada segundo la distancia recorrida aumenta en 9,8m a la recorrida en el segundo anterior. ¿Cuál es la distancia recorrida en el duodécimo y desde que altura cayó el cuerpo? (RP: a10= 93,1 ; h=490) 42.-Hallar tres números en progresión aritmética, cuya suma es 24 y su producto 440. 43.-La suma de tres números en progresión aritmética es 48 y la de sus cuadrados es 800. Hallar los números

44.- Calcular los ángulos de un triángulo rectángulo, sabiendo que forman una progresión aritmética 45.- Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que forman una progresión aritmética, cuya razón es 21. 46.-La suma de tres números en progresión aritmética es 18 y la de sus valores recíprocos es 11/18. Hallar los números (9) 47.-La suma de cuatro números en progresión aritmética es 24 y la de sus cuadrados es 164. Hallar los números 48.-La suma de los cuatro términos medios de una progresión aritmética de 12 términos es 74 y el producto de los términos es 70. ¿Cuál es la progresión?

49.-En una progresión aritmética, la suma de los cuadrados del 4° y el 12° term. Es 1170 y la suma del 7° con el 15° term. Es 60. Calcular el primer término y la diferencia   50.- La suma de tres números en progresión aritmética es 180 y la diferencia entre el tercer término y el primer es 30. Halla los números 51.-La suma de tres números en progresión aritmética es 45 y el producto del 1° por el 216. Hallar los números. (101) 52.-La suma de tres números en progresión aritmética es 45 y el producto de la suma de los cinco primeros términos por la suma de los últimos es 300. Calcular el primer término y la diferencia.