METODOS MATEMATICOS APLICADOS A LA FISICA I PROYECCION ESTEREOGRAFICA INTEGRANTES: -DUARTE ALCARAZ FCO ADRIAN -SALCIDO VALLE OSCAR RENE

PROYECCION ESTEREOGRAFICA O PTOLEMAICA: Una carta geográfica es una representación en un plano de toda o solo una parte de la superficie terrestre. Las curvas que se encuentran sobre la superficie de la tierra (como líneas costeras, ríos o líneas fronterizas ) se representan en el plano por curvas correspondientes. Por ejemplo: los ángulos comprendidos en la intersección de las curvas correspondientes del plano. Un mapa seria perfecto si preservara cada ángulo y redujera proporcionalmente a la misma escala toda distancia medida sobre una curva. Desafortunadamente es imposible hacer así un mapa perfecto sin embargo es posible construir un mapa semiperfecto que, aunque distorsione distancias, preserve ángulos; a un mapa de esta clase se le llama conforme.

Un mapa conforme de la esfera es comúnmente llamado la proyección estereográfica. Por lo tanto: "NO EXISTE el mapa ideal, bueno para cualquier propósito; toda proyección tiene que sacrificar la exactitud y tolerar distorsiones de uno u otro tipo."

Algunas características y aplicaciones Las proyecciones estereográficas transfieren un objeto de tres dimensiones a una superficie de dos dimensiones (papel). Durante este proceso matemático se pierde información. Generalmente se conocen proyecciones, cuales traspasan los ángulos correctos pero las distancias salen falso o distorsionado o proyecciones con las distancias correctas pero con los ángulos incorrectos. Además existe un gran numero de proyecciones entre los dos extremos. Pero nunca los dos parámetros salen sin distorsión. En la geología, especialmente en la geología estructural y en la cristalografía, se necesitan un método para visualizar la orientación de los planos geológicos en diagramas. El problema principal es, que planos cubren los tres dimensiones (orientación de un plano) y un papel tiene solamente dos. Entonces se usan las proyecciones para reducir un objeto tridimensional a un grafico (diagrama) de dos dimensiones

La proyección estereográfica representa la superficie finita de una esfera en un mapa plano de dimensiones infinitas. Tiene la interesante propiedad de no distorsionar las figuras. Así, círculos en la esfera se convierten en círculos en el mapa, y no por ejemplo en elipses. Existen otro tipo de proyecciones muy conocidas en geografía. Quizás la más famosa es la de Mercator. La proyección de Mercator es una proyección cilíndrica modificada para que sea posible que una línea de rumbo Sur-Este por ejemplo sea una línea recta, lo que facilitaba el trabajo de los marineros al mirar un mapa. En la figura 3(abajo) se representa a la izquierda la superficie esférica de la Tierra y a la derecha una proyección de Mercator de la misma

figura 3. Ejemplo de proyección de Mercator

Ejemplo de proyección elíptica

¿Qué tiene que ver la proyección estereográfica con los números complejos? Es de gran ayuda porque el punto al infinito no puede ser representado por ningún punto del plano euclidiano. Para eso se utiliza la definición de lo que es un plano complejo ampliado

PLANO COMPLEJO AMPLIADO Definición: Un subconjunto de C es compacto si y solo si, este es cerrado y acotado. Por lo tanto C no es compacto. Del mismo modo como se hace para el plano en R2 , adjuntamos a C un único punto llamado Punto al infinito, que designamos por inf . A la unión de C U {inf} se le llama plano complejo ampliado

Sin embargo el plano complejo ampliado admite una representacion geometrico por medio de una esfera, la llamada esfera de Riemann

ESFERA DE RIEMANN Sea N un punto sobre la esfera cuyas coordenadas son (0,0,1) y consideremos la proyeccion estereografica del polo N. (ver imagen) Esta proyeccion asocia a cada punto P de la Esfera, distinto de N, el punto del plano W=0 alineado con N y P. y si lo asociamos con z=x+iy viene dado por:

Donde (U,V,W) son las coordenadas del punto P. *Esta correspondencia es una biyeccion entre los puntos de C, que se ve están sobre el plano W=0 y los de la superficie de la esfera excepto el polo N. *Pero si a N le hacemos corresponder el punto del infinito, se obtiene una relación entre el plano complejo ampliado y la esfera. A esta esfera es a lo que se le llama Esfera de Riemann.

Propiedades inmediatas de la proyección estereográfica sobre la esfera Cuando los puntos de cualquier paralela de latitud se unen a N, se obtiene un cono (cuyo eje, el diámetro que pasa por N, es el eje de la esfera) de manera que la curva en el plano z que corresponde a una paralela de latitud es la intersección de este cono con el plano z, es decir un circulo con centro en el origen.

Los meridianos de longitud son intersecciones con los planos que pasan por el eje de la esfera (el diámetro que pasa por N y el polo sur). Así que la imagen de un meridiano de longitud es la intersección de dos planos que pasan por el origen, o una línea recta que pasa por el origen.

Ese enrejado que se forma por paralelas de latitud y meridianos de longitud se aplican sobre un enrejado formado por círculos concéntricos y líneas rectas que pasan por el centro Ver imagen

En general: (a) Un circulo en la esfera es la intersección de la esfera con un plano. Si el plano pasa por el polo norte, obtenemos un circulo que pasa por el polo norte. (b) La línea recta que se proyecta pasando por N y en cualquier punto de uno de estos círculos, esta en el plano que determina al circulo, por lo tanto el punto imagen esta en la intersección de este plano con el plano ecuatorial, es decir, es una recta: esta es la imagen del circulo que pasa por el polo norte.(caso particular de los meridianos)

¿Cómo lo veo analíticamente? Veamos la matemática de este problema, primero necesitamos expresar por medio de ecuaciones el hecho de que un circulo en la esfera es la intersección de la esfera con algún plano: un punto (U,V,W) de este circulo satisface dos ecuaciones: en donde suponemos que y que P>=0; Donde son los cósenos directores de la normal al plano y P es la distancia del origen al plano

En este caso p<1 por que queremos que la esfera y el plano se intersecan. Tenemos entonces que U=x(1-W) y V=y(1-W) ; Y escribimos las ecuaciones anteriores de la forma: (1) (λx+μy)(1-W)+νW=P (2) (1-w)2(x2+y2)+W2=1 Dividimos la segunda ecuación entre 1-W, y descartamos únicamente el polo norte W=1. y eliminando W se obtiene que la imagen del circulo en la esfera en el plano x+iy: (3) (p-v)(x2+y2+1)=2(λx+μy-v) Esta es la ecuación de un circulo si p es diferente de v, y es la ecuación de la línea recta si p=v

El significado del caso p=v se ve de la ecuacion del plano para este caso: λU + μV + v(1-W)=0 Este plano pasa por el polo norte (0,0,1), es decir, determina un circulo que pasa por el polo norte, y con esto vemos que la imagen de un circulo de esta clase es una linea recta.

Como vimos anteriormente un circulo en la esfera se aplica siempre sobre un circulo en el plano, a menos que el circulo pase por el polo norte Si transformamos la ecuación (3) De la forma:

De la ecuación anterior se ve que cuando (p-v) -> 0, el centro y el radio del circulo tienden ambos a infinito (p no puede tender a 1) y el circulo se convierte en una recta conviene imaginar las rectas como círculos de radio infinito, y tomando en cuenta esta observación, se tiene la afirmación general: La transformación estereográfica manda círculos en la esfera sobre círculos del plano

Otra característica especial de la proyección estereográfica es que se preservan los ángulos

BIBLIOGRAFIA Variable compleja autores: George Polya Gordon Latta Editorial Limusa primera edicion. Complex Variables: Introduction and Applications autores: Mark J Ablowitz Athanassios S Fokas Editorial CUP

Páginas de Internet utilizadas: http://descartes.cnice.mecd.es/m_Geometria/proyeccion_estereografica/ http://plata.uda.cl/minas/apuntes/geologia/Geoestructural/prak02.htm http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/geografia/mapas/carac.htm

O Q N P´(x,y) P(U,V,W) U V w