INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I Solución Gráfica de un problema de PL UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA UNI-NORTE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I Solución Gráfica de un problema de PL M.C. Ing. Julio Rito Vargas Avilés. 26 agosto del 2008

Problema Ejemplo 1: La WINDOR GLASS CO. produce artículos de vidrio de alta calidad, entre ellos ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1, los de madera en la planta 2; la 3 produce el vidrio y ensambla los productos. Debido a una reducción de las ganancias , la alta administración ha decidido reorganizar la línea de producción de la compañía. Se descontinuarán varios productos no rentables y se dejará libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de dos productos nuevos que tienen ventas potenciales grandes: Producto 1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio. Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4 x 6 pies.

Problema … El producto 1 requiere de la capacidad de producción en las plantas 1 y 3 y nada en la planta 2. El producto 2 sólo necesita trabajo en las plantas 2 y 3. La división de comercialización ha concluido que la compañía puede vender todos los productos que se puedan fabricar en las plantas. Sin embargo, como ambos productos competirán por la misma capacidad de producción en la planta 3, no está claro qué mezcla de productos sería la más rentable. Por lo tanto, se ha formado un equipo de IO para estudiar este problema. El grupo comenzó a realizar juntas con la alta administración para identificar los objetivos del estudio y desarrollaron la siguiente definición del problema:

Problema … Determinar que tasas de producción deben tener los dos productos con el fin de maximizar las utilidades totales, sujetas a las restricciones impuestas por las capacidades de producción limitadas disponibles en las tres plantas. (cada producto se fabricará en lotes de 20 unidades, de manera que la tasa de producción está definida con el número de lotes que se producen a la semana) Se permite cualquier combinación de tasas de producción que satisfaga estas restricciones, incluso no fabricar uno de los productos y elaborar todo lo que se posible del otro.

El equipo de IO también identificó los datos que necesitan reunir: Número de horas de producción disponibles por semana en cada planta para estos nuevos productos. (Casi todo el tiempo de estas plantas estás plantas está comprometido con los productos actuales, lo que limita la capacidad para manufacturar nuevos productos.) Número de horas de fabricación que emplea cada lote producido de cada artículo nuevo en cada una de las plantas. La ganancia por lote de cada producto nuevo. (Se escogió la ganancia por lote producido como una medida adecuada una vez que el equipo llegó a la conclusión de que la ganancia incremental de cada lote adicional producido sería, en esencia, constante, sin importar el número total de lotes producidos. Debido a que no se incurre en costos sustanciales para iniciar la producción y comercialización de estos nuevos productos, la ganancia total de cada uno es aproximadamente la ganancia por lote producido multiplicado por el número de lotes.)

Problema … La obtención de estimaciones razonables de estas cantidades requirió del apoyo de personal clave en varias unidades de la compañía. El personal de la división de manufactura proporcionó los datos de la primera categoría mencionada. El desarrollo de estimaciones para la segunda categoría requirió un análisis de los ingenieros de manufactura involucrados en el diseño de los procesos de producción para los nuevos artículos. Al analizar los datos de costos obtenidos por estos ingenieros, junto con la decisión sobre los precios de la división de mercadotecnia, el departamento de contabilidad calculó las estimaciones para la tercera categoría.

Definición del Problema … La tabla siguiente resume los datos reunidos. Planta Tiempo de producción por lote(20 unidades)en horas Tiempo de producción disponible a la semana, horas Producto 1 2 1 1 0 4 2 0 2 12 3 3 2 18 Ganancias por lote $ 3000 $5000

Formulación de un modelo matemático Se trataba de un problema de programación lineal del tipo clásico mezcla de productos y procedemos a la formulación del modelo matemático correspondiente. Para resolver este problema de PL: requerimos definir lo siguiente: Variables de decisión: : número de lotes(20 unidades) del producto 1 fabricado por semana : número de lotes(20 unidades) del producto 2 fabricado por semana

Función objetivo: Maximizar Restricciones: Horas disponibles en la planta 1, para producir lotes del producto 1. Horas disponibles en la planta 2, para producir lotes del producto 2 Restricciones de no negatividad Horas disponibles en la planta 3, para producir lotes del prod 1 y prod 2

Formulación del modelo matemático del PPL. Max s.a.

Conjunto convexo factible (0,6) (2,6) (4,3) (4,0) (0,0)

Solución… Soluciones factibles (0,0) (0,6) 30 (2,6) 36 (4,3) 27 (4,0) Vértices del problema Z óptimo (0,0) (0,6) 30 (2,6) 36 (4,3) 27 (4,0) 12

Soluciones FEV Z=36 Z=30 Z=27 Z=12 Z=0

Gráfico del problema con solución óptima (0,6) (2,6) (4,3) (4,0) (0,0)

Región factible acotada

Matrices del modelo