CALCULO DIFERENCIAL E INFINITESIMAL UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE BOLIVAR COORDINACION GENERAL DE ESTUDIOS DE POSTGRADO POSTGRADO EN CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MENCION FINANZAS. VII COHORTE         MATEMATICA APLICADA A LA ADMINISTRACION CODIGO # 806-3120 SECCION U CALCULO DIFERENCIAL E INFINITESIMAL PROF. HUGAR CAPELLA

LA DERIVADA INTRODUCCIÓN El deseo de medir y de cuantificar el cambio y la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada. El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer. PROF. HUGAR CAPELLA

1. Tasa de variación media Incremento de una función: Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  al valor a +h=b, entonces f pasa a valer f(a+h)=f(b), al valor h se le lama incremento de la variable independiente, y a la diferencia entre f(b) y f(a) se le llama el incremento de la función o variable dependiente. Tasa de variación media Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo  [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir: T.V.M. [a, b] = PROF. HUGAR CAPELLA

f(x) =x2 +3 en el intervalo [0,3] Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =x2 +3 en el intervalo [0,3] Solución T.V.M. [0, 3] = PROF. HUGAR CAPELLA

Tasa de variación instantánea. La derivada Consideremos un valor x (que puede ser positivo o negativo). La tasa de variación media en el intervalo [x, x +Δx] sería Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la Δx tiende a cero, es decir : A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0. PROF. HUGAR CAPELLA

DERIVADAS Y LA PENDIENTE DE UNA CURVA EN UN PUNTO B k A h La pendiente o gradiente de una curva cualquiera en un punto se define como la pendiente de la tangente (recta que toca a la curva sólo en dicho punto). En la figura, la pendiente de la curva en A es la pendiente de la recta AT, que es la tangente a la curva en A. Esta pendiente se puede aproximar por la de la recta AB, que une A y B, un punto cercano de la curva. La pendiente de AB es k/h. Si B se acerca hacia A, tanto k como h tienden a 0, pero su cociente tiende a un determinado valor, que es la pendiente de AT. El cálculo diferencial se ocupa de calcular la pendiente de las curvas y = f(x) en todos sus puntos http://es.geocities.com/pilar_zutabe/UNIDADES_DIDACTICAS/ANALISIS/DERIVADAS/Derivada_de_una_funcion.htm#TASAMEDIA PROF. HUGAR CAPELLA

si f(x) es creciente en x=a, entonces f ´(a)>0 (recta tangente con pendiente positiva). si f(x) es decreciente en x=a, entonces f ´(a)<0 (recta tangente con pendiente negativa). si f(x) presenta un máximo o mínimo en x=a, entonces f ´(a)=0 (recta tangente horizontal).   PROF. HUGAR CAPELLA

DERIVADAS DE FUNCIONES CONSTANTES Y ELEVADAS A UNA POTENCIA PROPIEDADES DERIVADAS DE FUNCIONES CONSTANTES Y ELEVADAS A UNA POTENCIA PROF. HUGAR CAPELLA

Función derivada. Reglas de derivación. Cálculo de derivadas

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Ejemplo demostración: ecuación polinómica PROF. HUGAR CAPELLA

Regla del producto y regla la cadena Ejemplo: y= (5x2-3x)(2x3+8x+7) REGLA DE LA CADENA Calcule dy/dx si y=(x2+1)5 sea u=x2+1 PROF. HUGAR CAPELLA

APLICACIONES: ANALISIS MARGINAL EL FABRICANTE DE CIERTO ARTICULO DESCUBRE QUE A FIN DE PRODUCIR X DE ESTOS ARTICULOS , EL COSTO TOTAL EN BsF ESTA DADO POR: C = 200 +0,03X2 SI SE PRODUCEN 100 ARTICULOS A LAS SEMANA EL COSTO ES : C=200+0,03(100)2 = 500 BsF EL COSTO PROMEDIO POR ARTICULOS ES 500/100= BsF 5 SI REQUIERE CAMBIAR LA TASA DE PRODUCCION DE 100 A (100+ ΔX) UNIDADES A LA SEMANA, ΔX REPRESENTA EL INCREMENTO EN LA PRODUCCION. C+ΔC=200+0,03(100+ ΔX)2 = 500+6ΔX+0,03ΔX2 EL COSTO EXTRA POR LA PRODUCCION DE ARTICULOS ADICIONALES ES : ΔC= (C+ΔC) – C = 500+6ΔX+0,03ΔX2 -500 = 6ΔX+0,03ΔX2 EL COSTO PROMEDIO POR ARTICULO DE LAS UNIDADES EXTRAS ES PROF. HUGAR CAPELLA

COSTO MARGINAL DEFINICION: ES EL VALOR LIMITE DEL COSTO PROMEDIO POR ARTICULO EXTRA CUANDO ESTE NUMERO DE ARTICULO TIENDE A CERO. PROF. HUGAR CAPELLA

Ejemplo: Costo marginal Sea la función de costo C(x)= 0,001x3-0,3x2+40x+1000 a) Determine el costo marginal como una función de x, es decir C´(x) b) Evalúe el costo marginal cuando la producción este en 50 artículos. PROF. HUGAR CAPELLA

INGRESO Y UTILIDAD MARGINALES Ingreso marginal: Si R(x) denota el ingreso de una determinada empresa derivados de la venta de productos o servicios entonces R´ (x) = dR/dx es el ingreso marginal y representa la entrada adicional por articulo adicional producido Utilidad Marginal: La utilidad esta dada por la diferencia entre sus ingresos y sus costos. Si P(x) denota a la utilidad, P(x) = R(x) –C(x); entonces la utilidad marginal es P´(x) PROF. HUGAR CAPELLA

Ejemplo: Utilidades marginales pag 519 # 20. EL EDITOR DE UNA REVISTA DESCUBRE QUE SI FIJA UN PRECIO DE BSF 1 A SU REVISTA, VENDE 20000 EJEMPLARES AL MES; SIN EMBARGO, SI EL PRECIO FIJADO ES DE BsF 1,5 SUS VENTAS SOLO SERAN 15000 EJEMPLARES. EL COSTO DE PRODUCIR CADA EJEMPLAR ES DE BsF 0,80 Y TIENE COSTOS FIJOS DE BsF 10000 AL MES . SUPONIENDO UNA ECUACION DE DEMANDA LINEAL, CALCULE LA FUNCION UTILIDAD MARGINAL Y DETERMINE EL PRECIO DE LA REVISTA QUE HAGA LA UTILIDAD MARGINAL IGUAL A CERO. EVALUE LA UTILIDAD MISMA CUANDO EL PRECIO ES a) BsF 1,8 b) BsF 1,90 c) BsF 2 PROF. HUGAR CAPELLA

Máximos y mínimos relativos (o locales) de funciones derivables Si una función tiene un máximo o mínimo relativo (o local) se dirá que tiene un extremo relativo. Condición necesaria de extremo Proposición. Si f es derivable en el punto a y f tiene en a un extremo relativo, entonces f ‘ (a)=0. PROF. HUGAR CAPELLA

Consideremos la función f( x ) = x3 + 3x2 - 1, cuya gráfica se muestra a continuación. La derivada de esta función es f `( x ) = 3x2 + 6x. Podemos observar que la gráfica tiene un valor máximo y un valor mínimo, y es claro que la recta tangente a esos máximo y mínimos su pendiente será cero, como lo indica la siguiente gráfica PROF. HUGAR CAPELLA

cuyas soluciones son x1 = -2 y x2 = 0. ¿Cuáles son esos puntos? Dichos puntos deben satisfacer la ecuación f `( x ) = 0, que en nuestro caso es 3x2 + 6x = 0 cuyas soluciones son x1 = -2 y x2 = 0. Gráficamente vemos que el punto x1 = -2 otorga un valor máximo, y el punto x2 = 0 corresponde a un mínimo, ¿pero cómo lo podemos determinar analíticamente? Notemos que si evaluamos en la función original los valores de f( x* - h ) y f( x* + h ), siendo x* solución de la ecuación  f `( x* ) = 0 tenemos que f( x* - h ) < f( x* )  y  f( x* ) > f( x* + h ), el punto x* es un máximo f( x* - h ) > f( x* )  y  f( x* ) <  f( x* + h ), el punto x* es un mínimo De tal manera que con estos criterios, efectivamente obtenemos que -2 es un máximo y 0 es un mínimo para la función. PROF. HUGAR CAPELLA

EJEMPLO: UTILIDAD MAXIMA PAG. 605 #21. UNA EMPRESA VENDE TODAS LAS UNIDADES QUE PRODUCE A BsF 4 CADA UNA. EL COSTO TOTAL DE LA EMPRESA POR PRODUCIR X UNIDADES ESTA DADO POR C = 50+ 1,3X + 0,001X2 a) ESCRIBA LA EXPRESIÓN PARA LA UTILIDAD TOTAL U COMO UNA FUNCIÓN DE X b) DETERMINE EL VOLUMEN DE LA PRODUCCION X DE MODO QUE LA UTILIDAD P SEA MAXIMA. c) CUAL ES EL VALOR DE LA UTILIDAD MAXIMA. SOLUCION: INGRESO R(X) PROF. HUGAR CAPELLA

EJEMPLO: PUBLICIDAD Y GANANCIA PAG. 600 UNA COMPAÑÍA OBTIENE UNA UTILIDAD DE BsF 5 POR CADA ARTICULO DE SU PRODUCTO QUE VENDE. SI GASTA A DOLARES POR SEMANA EN PUBLICIDAD, EL NUMERO DE ARTICULOS QUE VENDE ESTA DADO POR: X= 2000(1-e-kA) en donde k= 0,001. DETERMINE EL VALOR DE A QUE MAXIMIZA LA UTILIDAD NETA. PROF. HUGAR CAPELLA

ELASTICIDAD DE LA DEMANDA Sea x el numero de unidades que se adquirirán a un precio p variables relacionadas funcionalmente) CUANDO Δp TIENDE A CERO ENTONCES Si η<-1 demanda es elástica (cambio porcentual en la demanda es mayor que el cambio porcentual en el precio) -1<η<0 demanda inelástica (cambio porcentual en la demanda es menor que el cambio porcentual en el precio) η=-1 demanda unitaria (Un pequeño cambio porcentual en el precio es igual que el cambio porcentual en la demanda) PROF. HUGAR CAPELLA

Elasticidad y logaritmos Del cuadro resumen de derivadas tenemos: La función ingreso marginal esta dada por R(x) = cantidad vendida por precio)=xp El ingreso marginal R´ (x) = d(xp)/dx = p+ x dp/dx PROF. HUGAR CAPELLA

Ejemplo: Elasticidad de la demanda Si la relación de demanda es x = 100-50p. Calcule la elasticidad de la demanda cuando a) p=5 b) p=10 c) p=15 PROF. HUGAR CAPELLA

Ejemplo: Elasticidad. Con respecto a la relación de demanda x = k(1-p-p2) determine el valor de p que hace a η= -1. Encuentre los valores de p para los cuales la demanda es: a) elástica b ) inelástica Solución: para η= -1 3p2 +2p -1 = 0 ec. De 2do grado p= 1/3 p=-1 Demanda elástica. η<-1 Demanda inelástica -1<η<0 PROF. HUGAR CAPELLA