MATEMÁTICAS 2 Cónicas: La Elipse
La elipse Es el conjunto de puntos P(x,y) del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2 (focos) es una constante.
. . . . La elipse centro vértice eje focal foco V1V2 : eje mayor F2 F1 V2 V1 foco eje focal V1V2 : eje mayor M1M2: eje menor
. . . Ecuación canónica de la elipse y x -a -c c a b -b P(x,y) b -b . F2 F1 -a -c c a d(P,F1) + d(P,F2) = Cte (a>b)
Como la suma de las distancias de P(x,y) a los focos es Cte, entonces, cuando P esté sobre el eje X se tiene: Cte = 2a d(P,F1) + d(P,F2) = 2a (a >b)
x2 y2 a2 b2 a2 = b2 + c2, de donde se obtiene: __ __ + = 1 Además, cuando P está sobre el eje Y tiene coordenadas (0,b) o (0,-b), así, notamos que se cumple la relación: a2 = b2 + c2, de donde se obtiene: x2 y2 a2 b2 __ __ + = 1
. . y a c -c -a x -a -c c a x y x2 y2 a2 b2 __ __ + = 1 x2 y2 b2 a2 -b b a c -c -a . x b -b -a -c c a . x y x2 y2 a2 b2 __ __ + = 1 x2 y2 b2 a2 __ __ + = 1
. . Elipses con centro (h,k) y x (x - h)2 (y - k)2 ____ ____ + = 1 F2 F1 (h,k) (x - h)2 (y - k)2 a2 b2 ____ ____ + = 1 9
. Elipses con centro (h,k) y x (y - k)2 (x - h)2 ____ ____ + = 1 a2 b2 F1 F2 (y - k)2 (x - h)2 a2 b2 ____ ____ + = 1
Propiedad de reflexión en la elipse . P . F´ F
Ejemplo: Determine una ecuación para la elipse que tiene centro en el origen, un foco en (0;2) y un vértice en (0;-3). Trace la gráfica.