Lehen ordenako ekuazio diferentzialak

Bi aldagaiko funtzioaren diferentzial totala Gogora dezagun z = f(x, y), bi aldagaiko funtzioaren diferentzial totala: Funtzioa konstante bada, z = f(x, y) = c, orduan dz =0 Adibidez: x2 – 5xy + y3 = c, (2x – 5y) dx + (-5x + 3y2) dy = 0

Esango dugu M(x, y) dx + N(x, y) dy dela diferentzial zehatza, OXY planoko R eremu batetan, baldin eta bi aldagaiko funtzio baten diferentzial osoa ba da. Hau da, existitzen bada f(x, y), era honetakoa: df(x, y)=M(x, y) dx + N(x, y) dy Hori horrela bada, M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, lehen ordenako ekuazio diferentzialari, zehatza deituko diogu. Lehen ordenako ekuazio diferentzial zehatza:

Bitez M(x, y) eta N(x, y) eta heuren lehen ordenako deribatu partzialak jarraiak, OXY planoko R eremu batetan. M(x, y) dx + N(x, y) dy diferentzial zehatza izateko baldintza nahikoa eta beharrezkoa da hurrengo hau: Diferentzial zehatza izateko irizpidea:

Frogapena: Benetan, M(x, y) dx + N(x, y) dy zehatza ba da, orduan existetzen da f funtzioa R eremuan honelakoa: M(x, y) dx + N(x, y) dy = (f/x) dx + (f/y) dy Hortaz: eta, ondorioz: Nahikotasuna egiaztatuko dugu hurrengoan, frogatuz nola existitzen den f (eta nola kalkula daitekeen) irizpidearen baldintza baieztatzen denean.

Ebazpen metodoa: f /x = M(x, y) denez: Orain goiko f-ren lehen ordenaho deribatu partziala y-rekiko kalkulatuko dugu eta kontutan izango dugu ere, f /y = N(x, y) berdintza, aldi berean, baieztatzen dela:

Orain, g(y) integratuz y-rekiko, g(y) hori kalkulatuko dugu eta adierazpenean odezkatuko dugu. Honekin batera, f(x, y) funtzioa lortuko dugu eta lehen ordenako ekuazio diferentzialaren soluzioa izango da: f(x, y) = c.

Adibidea Ebatzi 2xy dx + (x2 – 1) dy = 0. Ebazpena: M(x, y) = 2xy, N(x, y) = x2 – 1, M/y = 2x = N/x Beraz zehatza da eta honelako f funtzioa existituko da: f/x = 2xy, f/y = x2 – 1 f(x, y) = x2y + g(y) f/y = x2 + g’(y) = x2 – 1 g’(y) = -1, g(y) = -y

Orduan f(x, y) = x2y – y, eta soluzioa x2y – y = c, edo y = c/(1 – x2) (bigarren era honetan idatzita ikusten da eremutik kanpo geratzen direla x = 1 eta x = -1 puntuak.

Adibidea Ebatzi (e2y – y cos xy)dx+(2xe2y – x cos xy + 2y)dy = 0. Ebazpena: Zehatza da: M/y = 2e2y + xy sin xy – cos xy = N/x Hortaz, f funtzioa existitzen da era honetakoa: f/y = 2xe2y – x cos xy + 2y hau da:

Orduan h’(x) = 0, h(x) = c. Eta soluzioa hurrengo da: xe2y – sin xy + y2 + c = 0

Adibidea: Ebatzi hastapen-baldintzetako problema hau: Ebazpena: Honela berridatzi daiteke ekuazio diferentziala: (cos x sin x – xy2) dx + y(1 – x2) dy = 0 eta: M/y = – 2xy = N/x (zehatza da) Beraz: f/y = y(1 – x2) f(x, y) = ½y2(1 – x2) + h(x) f/x = – xy2 + h’(x) = cos x sin x – xy2

Ondorioz: h(x) = cos x sin x h(x) = -½ cos2 x eta, ½y2(1 – x2) – ½ cos2 x = c1 edo, baliokidea dena: y2(1 – x2) – cos2 x = c non c = 2c1. Orain y(0) = 2, denez, c = 3. eta, hastapen-baldintzetako problemaren soluzioa hau da: y2(1 – x2) – cos2 x = 3

Faktore integratzaileak Batzuetan, nahiz eta lehen ordenako ekuazio diferentzial bat, M(x, y)dx +N(x, y)dy = 0, zehatza ez izan, existitu daitezke, (x, y), faktore integratzaileak, non (x, y)M(x, y)dx + (x, y)N(x, y)dy = 0 lehen ordenako ekuazio diferentzial zehatza den. Hori gertatuko da baldin eta soilik baldin: (M)y = (N)x Hortaz My + yM = Nx + xN, edo xN – yM = (My – Nx) 

Demagun  dela soilik aldagai bakardun funtzioa, adibidez, soilik x-ren funtzioa, orduan: x = d /dx eta y = 0 ondorioz: Bestela esanda, (My – Nx) / N, soilik x-ren funtzioa bada, orduan, kalkula daiteke x aldagai bakardun funtzioa den  faktore integratzailea.

Era berean,  soilik y-ren funtzioa balitz, orduan: y = d /dy eta x = 0 ondorioz: eta orain, (Nx – My) / M , soilik y-ren funtzioa balitz, orduan, kalkula genezake  faktore integratzailea (soilik y-ren funtzioa izango litzatekeena)

Laburbilduz: M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 zehatza ez bada, baina (My – Nx) / N soilik x-ren funtzioa bada, orduan: Bestela, M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 zehatza ez bada, Baina (Nx – My) / M soilik y-ren funtzioa bada, orduan:

Adibidea: xy dx + (2x2 + 3y2 – 20) dy = 0 ez da zehatza: M = xy, N = 2x2 + 3y2 – 20, eta My = x, Nx = 4x Bestaldetik: da x eta y-ren funtzioa.

Beraz, hasierako lehen ordenako ekuazio diferentziala orain honela bilakatzen da: xy4 dx + (2x2y3 + 3y5 – 20y3) dy = 0 eta soluzioa (kalkulatu): ½ x2y4 + ½ y6 – 5y4 = c

Lehen ordenako ekuazio diferentzial linealak:  Oraintxe ikusiko dugunez, hauek beti dute soilik x-ren funtzioa den, (x), faktore integratzailea. Era kanonikoan edo normalean, ekuazio diferentzial lineala honelakoa da: