PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES DE MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚ CURSO DE ACTUALIZACIÓN PARA PROFESORES ECONOMETRÍA PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES DE MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS Profesora: Donita Rodríguez. Agosto 2011

ESQUEMA Los Estimadores MCO del MRLCK. Propiedades en Muestras Pequeñas de Propiedades en Muestras Grandes de Criterios de selección y los estimadores MCO.

1. ESTIMADORES MCO DEL MRLCK Vector de estimadores de MCO del MRLCK: Estimador MCO de la varianza del término de perturbación: Error estándar de la estimación o error estándar de la regresión, s, es la desviación estándar de los valores de Y alrededor del plano de regresión.

2. PROPIEDADES PARA MUESTRAS PEQUEÑAS DE presenta las siguientes propiedades: Linealidad : Insesgadez : Eficiencia : Considerando estimadores lineales e insesgados

2. PROPIEDADES PARA MUESTRAS PEQUEÑAS DE EL TEOREMA GAUSS-MARKOV Para un modelo de regresión lineal clásico, considérense todos los estimadores lineales e insesgados para los parámetros del vector “β ”, dentro de los cuales figuran los estimadores de MCO. De todos estos, los estimadores de MCO son los que tienen menor varianza, es decir, son los más eficientes. Por ello, los estimadores de MCO son los Mejores Estimadores Lineales e Insesgados o MELI (Best Linear and Unbiased Estimators or BLUE).

2. PROPIEDADES PARA MUESTRAS PEQUEÑAS DE Demostración del teorema de Gauss-Markov: Asuma un estimador alternativo lineal: Que es insesgado: Entonces: AX=I Matriz positivo definida MX es una matriz idempotente.

2. PROPIEDADES PARA MUESTRAS PEQUEÑAS DE Si se asume que las perturbaciones se distribuyen normal, entonces: y se demuestra que no existe otro estimador insesgado (lineal o no lineal) con menor varianza. Entonces, si se cumplen lo supuestos clásicos y las perturbaciones son normales en muestras pequeñas, los estimadores MCO son los mejores estimadores insesgados.

2. PROPIEDADES PARA MUESTRAS PEQUEÑAS DE Teorema Gauss-Markov Teorema Gauss-Markov y Supuesto de Normalidad

3. PROPIEDADES PARA MUESTRAS PEQUEÑAS DE Las propiedades del estimador MCO del parámetro de la varianza del término de perturbación son: Cuadrático : Insesgado : Bajo el supuesto de normalidad de las perturbaciones, se demuestra que no existe otro estimador insesgado con menor varianza que :

4. PROPIEDADES PARA MUESTRAS GRANDES DE Consistencia: Por la Ley de los Grandes Números, el estimador MCO converge “en probabilidad” al vector poblacional. Normalidad Asintótica: Por el Teorema de Límite Central de Lindverg-Feller (observaciones independientes):

4. PROPIEDADES PARA MUESTRAS GRANDES DE Además, bajo el supuesto de que las perturbaciones se distribuyen Normal en muestras pequeñas: Eficiencia Asintótica: Alcanza la cota de Cramer y Rao: menor varianza que puede alcanzar un estimador insesgado. Máxima verosimilitud: bajo el supuesto de normalidad de las perturbaciones.

5. PROPIEDADES PARA MUESTRAS GRANDES DE Consistencia : Normalidad Asintótica: Bajo el supuesto de normalidad de las perturbaciones Eficiencia Asintótica: Alcanza la cota de Cramer y Rao. Máxima verosimilitud

6. CRITERIOS DE SELECCIÓN Y ESTIMADORES MCO En muestras pequeñas, los criterios convencionales son Costo Computacional Mínimos Cuadrados Maximizar el R2 Insesgadez Eficiencia (del grupo de lineales e insesgados): T. Gauss-Markov. Menor Error Cuadrático Medio. En muestras pequeñas, la metodología de MCO cumple con todos los criterios, excepto el (6).

6. CRITERIOS DE SELECCIÓN Y ESTIMADORES MCO En muestras grandes, los criterios convencionales son: 1. Consistencia. Normalidad Asintótica. Eficiencia Asintótica. 4. Máxima Verosimiltud. En muestras grandes, los estimadores MCO satisfacen: Consistencia (por la Ley de los Grandes Números) y Normalidad Asintótica (por el Teorema del Límite Central). Bajo el supuesto de normalidad, Eficiencia Asintótica y MV.

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