ESTIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS (MCO)

ESTIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS (MCO)
BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚ CURSO DE ACTUALIZACIÓN PARA PROFESORES ECONOMETRÍA ESTIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS (MCO) Profesora: Donita Rodríguez. Agosto 2011

ESQUEMA Metodología de Estimación MCO: MRLC2.
Metodología de Estimación MCO: MRLCK. Características Muestrales de los estimadores MCO. Regresión Ortogonal. Estimación MCO como Proyección. Aplicaciones

1. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLC2
Dado el modelo de regresión poblacional y el estimado: se definen los residuos de cualquier línea ajustada como: Cada valor observado de la variable endógena puede expresarse como:

P4 Y P1 P3 P2 X X1 X2 X3 X4 En la práctica sólo observamos los puntos P. 7

P4 Y P1 P3 P2 b1 X X1 X2 X3 X4 Podemos usar los puntos P para dibujar una línea recta que sea una aproximación de Y = b1 + b2X. Esta línea estimada será Y = b1 + b2X, donde b1 es un estimador de b1 y b2 es un estimador de b2. 8

P4 Y R3 R4 R2 P1 R1 P3 P2 b1 X X1 X2 X3 X4 La linea se llama modelo ajustado y los valores de Y estimados se llaman valores ajustados de Y. Se representan por la altura de los puntos R. 9

P4 Y e4 R3 R4 R2 P1 e1 e3 e2 R1 P3 P2 b1 X X1 X2 X3 X4 La discrepancia entre el valor observado y el valor ajustado de Y se conoce como residuo. 10

P4 Y R3 R4 R2 P1 R1 b1 P3 P2 b1 X X1 X2 X3 X4 Importante: Note que el residuo no es igual al término de perturbación. 11

P4 Y Q4 P1 Q3 Q2 Q1 b1 P3 P2 b1 X X1 X2 X3 X4 El término de perturbación en cada observación es el responsable de la divergencia entre el valor observado y el componente no aleatorio de la verdadera relación. 12

P4 Y R3 R4 R2 P1 R1 b1 P3 P2 b1 X X1 X2 X3 X4 El residuo es la discrepancia entre el valor observado y el valor ajustado de la variable endógena. 13

P4 Y R3 R4 R2 P1 R1 b1 P3 P2 b1 X X1 X2 X3 X4 Si la regresión es “buena”, los residuos y los valores del término de perturbación serán similares (ver primera y segunda obs.), pero son conceptualmente distintos. 14

P4 Y u4 Q4 b1 b1 X X1 X2 X3 X4 Las dos rectas serán analizadas en el curso. Cada una permite la descomposición del valor de Y. Esta descomposición se ilustrará con la cuarta observación. 15

P4 Y u4 Q4 b1 b1 X X1 X2 X3 X4 Usando la relación teórica, Y puede descomponerse en un componente no estocástico y un componente aleatorio. 16

P4 Y u4 Q4 b1 b1 X X1 X2 X3 X4 Es una descomposición teórica porque desconocemos los valores de β1, β2 o los valores del término de perturbación. 17

P4 Y e4 R4 b1 b1 X X1 X2 X3 X4 La otra descomposición es en referencia a la línea ajustada. En cada observación, el valor observado de Y es igual al valor ajustado de Y más el residuo. Esta es una descomposición operativa que se utilizará para usos prácticos. 18

El Principio de Mínimos Cuadrados consiste en: Condiciones de Primer Orden. Ecuaciones Normales:

Primera condición de primer orden: Segunda condición de primer orden: 23

23

Demostración de Resultados Importantes: Análogamente: 34

Estimador MCO de beta1 Estimador MCO de beta2: Estos estimadores replican los poblacionales (normalidad):

Estimador de la varianza del término de perturbación. No se puede estimar a partir de una muestra de valores de u, pues depende de los parámetros poblacionales no observados beta1 y beta2. Puede obtenerse un estimado a partir de los errores de estimación. El estimador es:

2. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLCK
El modelo de regresión poblacional de “k” variables, para una observación o período de tiempo, se denota por: y el modelo de regresión estimado:

Matricialmente, para las n observaciones: Entonces, dado , se tiene:

Suma de los cuadrados de los residuos o errores de estimación: De acuerdo al Principio de Mínimos Cuadrados Ordinarios, se minimiza SCR, lo cual implica que se cumpla las C.P.O. y C.S.O:

Las Ecuaciones Normales se obtienen a partir de las Condiciones de Primer Orden (C.P.O.):

En el modelo de regresión lineal clásico de k variables se obtiene k ecuaciones normales: una para cada parámetro especificado en la ecuación de regresión. A partir de la CPO se obtiene el vector de estimadores de MCO del MRLCK: Supuesto de “rango completo por columnas” es importante! Para derivar el estimador MCO sólo se necesita que X’X tenga inversa y ello se cumple sólo si se cumple el SC 3.

Estimador de la Varianza s2. Es razonable obtener el estimador a partir de la suma de cuadrados de los residuos: Donde M es una matriz simétrica e idempotente; además:

Con estas propiedades, se tiene que: Elevando al cuadrado los residuos: Aplicando la esperanza matemática a esta expresión y aprovechando las propiedades de la traza obtenemos:

Así, el estimador de la varianza del término de perturbación, y de la regresión, es: El error estándar de la estimación o error estándar de la regresión, s, es la desviación estándar de los valores de Y alrededor del plano de regresión.

3. CARACTERÍSTICAS MUESTRALES DE MCO
Presentan tres principales características asociadas a las EN: La línea de regresión estimada pasa por los valores medios muestrales de las variables. El promedio observado es igual al promedio estimado: Los residuos de MCO tienen correlación cero con la variable independiente (en la muestra). No existe correlación muestral entre los valores estimados de la variable endógena y los residuos.

3. CARACTERÍSTICAS MUESTRALES DE MCO
Para el modelo de regresión clásico de k variables: La ecuación de regresión o hiperplano de regresión pasa por los puntos medios del espacio “k” dimensional. El promedio observado es igual al promedio estimado: La correlación muestral de los regresores con los residuos es cero. Los valores estimados de la variable dependiente no están correlacionados con los residuos.

6. REGRESIÓN ORTOGONAL Sea el siguiente MRLC3:
Los estimadores MCO son:

4. REGRESIÓN ORTOGONAL Si se estima el modelo de dos variables:
Los estimadores MCO son: Además: Si los regresores no están correlacionados (ortogonales), las pendientes del modelo múltiple son iguales a las pendientes de regresiones individuales.

5. ESTIMACIÓN MCO COMO PROYECCIÓN
M es la Matriz Generadora de Residuos: M (nxn), simétrica, idempotente, dim(M)=tr(M). M es la Matriz Aniquiladora: la proyección de X sobre X es perfecta y el residuo es cero. P es la Matriz de Proyección sobre el espacio columna X P (nxn), simétrica, idempotente, dim(P)=tr(P). La proyección de X sobre X es igual a X:

Además, PM = MP = 0. Entonces, la estimación por MCO particiona y en dos componentes ortogonales: Teorema de Pitágoras: Suma de Cuadrados

Geometría de MCO:

Geometría de MCO: X1

Geometría de MCO: X2 X1

Geometría de MCO: y X2 X1

Geometría de MCO: y X2 Xb X1

Geometría de MCO: y e X2 Xb X1

Geometría de MCO: y* y e X2 Xb X1

Geometría de MCO: y* y e X2 Xb Xb* X1

A través del uso de matrices : caso de dos variables Se obtiene una línea de regresión

A través del uso de matrices : caso de tres variables Se obtiene un plano de regresión

6. APLICACIÓN: Estimación del salario por hora
Earnings: salario por hora S: años de educación Mayores observaciones para eduación básica y secundaria. Pocas observaciones para mayores años de estudio en la muestra analizada. 1

6. APLICACIÓN: Estimación del salario por hora
Dependent Variable: EARNINGS Method: Least Squares Date: 07/31/11 Time: 22:59 Sample: 1 540 Included observations: 540 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.0000 S R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) 1

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