XXXIV Olimpiada Matemática SAEM Thales Fase Provincial, 10 de marzo de 2018 Fase Regional, Granada del 9 al 12 de mayo de 2018

Problema 6: Trabajando con números En la clase de 2º ESO, el profesor de Matemáticas les dice a los alumnos: que cada uno piense un número natural y lo ponga en una casilla A; luego, que coja ese número, lo multiplique por 2 y al resultado le sume 2, y lo ponga en una casilla B; coja otra vez el número de la casilla A y lo multiplique por 3 y lo ponga en una casilla C. Ahora que sume los números de las casillas B y C, a esa suma la multiplique por 5 y al resultado le reste 3, y ese es el resultado final. Contesta de forma razonada: Si un alumno escogió el 7 en la casilla A, ¿cuál ha sido su resultado final? Si un alumno obtuvo como resultado final, 57, ¿qué número escogió en la casilla A? Un alumno dice que su resultado final fue 86, ¿puede ser posible? Resolución

𝒏 Enunciado Resolución · Pensamos un número natural y lo colocamos en la casilla A. · A continuación lo multiplicamos por 2 y al resultado le sumamos 2, y lo ponemos en la casilla B. · Volvemos a tomar el número de la casilla A, lo multiplicamos por 3 y lo colocamos en la casilla C. 𝒏 A ×2+2 ×3 B   C Enunciado

𝒏 Enunciado 5 𝐁+𝐂 −3 Resolución · Ahora sumamos los números de las casillas B y C , a esa suma la multiplicamos por 5 y al resultado se le resta 3. Ese es el resultado final. 𝒏 A ×2+2 ×3 B   C 5 𝐁+𝐂 −3 Enunciado

182 7 Enunciado 16 5 𝟏𝟔+𝟐𝟏 −3 21 Resolución Si un alumno escogió el 7 en la casilla A, ¿cuál ha sido su resultado final? 7 A ×2+2 ×3 16 B 21   C 5 𝟏𝟔+𝟐𝟏 −3 182 Enunciado

𝒙 Enunciado 57 5 𝐁+𝐂 −3 Resolución Si un alumno obtuvo como resultado final, 57, ¿qué número escogió en la casilla A? 𝒙 A ×2+2 ×3 B   C 5 𝐁+𝐂 −3 57 Enunciado

Resolución 2𝑥+2 B ×2+2 𝑥 A 5 𝐀+𝐁 −3 3𝑥   C ×3 25𝑥+7 Enunciado

𝟓𝟕 𝟐 Enunciado 6 5 𝟔+𝟔 −3 Resolución Por tanto: 25𝑥=57−7 25𝑥+7=57 𝑥= 50 25 =2 25𝑥=50 Comprobamos si es cierto: ×2+2 ×3 𝟐 A 6 B   C 5 𝟔+𝟔 −3 𝟓𝟕 Enunciado

25𝑥+7=86 Enunciado Resolución c) Un alumno dice que su resultado final fue 86, ¿puede ser posible? 25𝑥+7=86 𝑥= 79 25 = 3 ′ 16 25𝑥=79 Hemos visto que no puede ser 86, pues el resultado final no es un número natural. Enunciado

Resolución Pero también podemos observar que el resultado de 5 · (5x + 2) tiene que ser múltiplo de 5. Por tanto solo puede terminar en _0 ó _5 Pero le tenemos que restar 3, con lo cual los resultados posibles solamente pueden acabar en _7 ó _2. Luego es imposible que el resultado final sea 86. Enunciado

Resumiendo Enunciado Resolución a) El alumno que puso el 7 en la casilla A obtuvo como resultado final 182. b) El alumno que obtuvo como resultado final 57, había puesto en la casilla A el número 2. c) El alumno que dice darle como resultado final 86 erró en sus cálculos. Hemos encontrado las soluciones, pero, ¿habrá más formas de conseguirlas? Enunciado

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