XIII CONGRESO ESTATAL DE ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS Puntos notables del triángulo Jugando con Geogebra Rosemberg Toalá Enríquez rosembergtoala@gmail.com (Pregúntame por el .exe de Geogebra para Windows) 10 de Febrero de 2017 Comitán, Chiapas

Hoy veremos Introducción a Geogebra Gravicentro Circuncentro Ortocentro Incentro Recta de Euler

Geogebra Se puede descargar de manera gratuita desde: www.geogebra.org Existen varios tutoriales en Youtube, por ejemplo: https://www.youtube.com/watch?v=Wkb9eW4uQP0

A jugar

Gravicentro Mediana: Recta que une el vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto Divide al triángulo en dos triángulos de áreas iguales. ¿Por qué? Gravicentro: Intersección de las tres medianas de un triángulo. También conocido como Baricentro, Centroide o Centro de Gravedad. Lo denotaremos por G. Las tres medianas dividen al triángulo en 6 áreas iguales. El gravicentro divide a cada mediana en razón 2:1.

Circuncentro Mediatriz: Recta perpendicular por el punto medio de un segmento dado. Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento. Circuncentro: Intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Lo denotaremos por O. Es el centro del círculo circunscrito. Es decir, el circuncentro equidista de los tres vértices del triángulo.

Ortocentro Altura: Recta que pasa por un vértice de un triángulo y es perpendicular al lado opuesto. Ortocentro: Punto de intersección de las tres alturas de un triángulo. Lo denotaremos por H. Dato curioso/Ejercicio: Considera un triángulo ABC. Traza la paralela a BC por A, traza la paralela a AC por B y traza la paralela a AB por C. Se forma un nuevo triángulo cuyo circuncentro es H.

Incentro Bisectriz: Recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales. Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo. Incentro: Punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro del círculo inscrito. Es decir, el incentro equidista de los tres lados del triángulo.

Resumen Medianas → Gravicentro, G Mediatrices→ Circuncentro, O Alturas → Ortocentro, H Bisectrices → Incentro, I

Recta de Euler “Dado un triángulo cualquiera, el ortocentro H, el gravicentro G y el circuncentro O están alineados. Además el gravicentro divide al segmento OH en razón 1:2.” A la recta que forman los puntos O, G y H se le conoce como recta de Euler.

Circunferencia de los 9 puntos Considera un triángulo cualquiera ABC. Denota por D, E y F a los pies de las alturas y por H al ortocentro. Denota por L, M y N a los puntos medios de los lados. Finalmente denota por P, Q y R a los puntos medios de los segmentos AH, BH y CH, respectivamente. Entonces los 9 puntos, D, E,F, L, M, N, P, Q y R se encuentran sobre una misma circunferencia. Dato curioso/Ejercicio: ¡La circunferencia de los 9 puntos es tangente al incírculo!

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