U.D. 12 * 3º ESO E.AC. FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

FUNCIONES CUADRÁTICAS U.D. 12.7 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

FUNCIONES CUADRÁTICAS Si tenemos una ecuación de la forma y = a.x2 , y = a.x2 + b , y = a.x2 + b.x , y = a.x2 + b.x + c Podemos decir que es una función cuadrática. En ella x es la variable independiente e y es la variable dependiente. Las letras a, b y c son los llamados parámetros. La señalaremos así: f(x) = a.x2 , f(x) = a.x2 + c , f(x) = a.x2 + b.x , f(x) = a.x2 + b.x + c Al ir dando valores a x , obtenemos diferentes valores de y , que llevados a un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva llamada PARÁBOLA. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 3º ESO Apuntes

Vértice y eje de la parábola Toda función cuadrática hemos visto que da lugar a una parábola siempre. Para construir una parábola necesitamos cuatro elementos: VÉRTICE DE LA PARÁBOLA Como todo punto tendrá dos coordenadas, xv e yv , abscisa y ordenada: V(xv , yv) Siempre se cumple: xv = - b / 2.a  yv=a.xv2 +b.xv+ c Ejemplo Sea f(x) = x 2 + 4.x + 2 Hallar el vértice. Como b = 4 y a = 1  xv = - 4 / 2 = - 2  yv= (-2)2 + 4(-2) + 2 = - 2 V(-2 , -2) EJE DE SIMETRÍA Es vertical y pasa por el vértice, luego su ecuación es x = xv = -b/2.a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 3º ESO Apuntes

Cortes de la parábola con ejes PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Si hacemos x=0  y = f (0) será el corte con el eje de ordenadas. Si hacemos f(x)=0  La solución de la ecuación a.x 2 +b.x + c = 0 nos dará los puntos de corte con el eje de abscisas, si los hay. Ejemplo Sea f(x) = x 2 + 4.x + 2 Hallar los cortes con los ejes. Hacemos x=0  f(0) = 02 + 4.0 + 2 = 2  Pc(0, 2) Hacemos f(x)=0  x 2 + 4.x + 2 = 0 , ecuación que resolvemos: x = [- 4+/- √(16 – 8)]/2 = - 2 +/- √2 x1 = - 2 + √2 y x2 = - 2 - √2  Pc(- 2 + √2, 0) y Pc (- 2 - √2, 0) Para operar con ellos: Pc(- 0,69, 0) y Pc (- 3,41, 0) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 3º ESO Apuntes

Tabla de valores de la parábola Además de los ya calculados, vértice y cortes, dos o cuatro más de valor simétrico respecto al valor del vértice. Ejemplo Sea f(x) = x 2 + 4.x + 2 Hallar la Tabla de Valores Como valores de la variable independiente, x, utilizamos los del vértice y cortes: x - 4 - 3,41 - 3 - 2 - 1 - 0,69 0 y 2 0 - 1 - 2 - 1 0 2 Los puntos – 4 y 0, así como - 3 y -1 son de valor simétrico a – 2, lo que facilita mucho los cálculos y la gráfica. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 3º ESO Apuntes

Matemáticas 3º ESO Apuntes Gráfica del ejemplo Sea y = x 2 + 4.x + 2 Vértice: V(-2 , -2) Eje: x = - 2 Cortes con ejes; Pc(0, 2) Pc(- 0,69, 0) y Pc (- 3,41, 0) Tabla de valores: x - 4 - 3 - 1 y 2 - 1 - 1 y 2 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 3º ESO Apuntes

Otro ejemplo de parábola Sea y = x2 - 4 Calculamos el vértice: xv = - b / 2.a = 0 / 2 = 0 yv= 02 - 4 = - 4 El corte con el eje de ordenadas coincide con el vértice al ser x=0 Como x2 - 4 = (x +2).(x – 2) x=2 y x= -2 son los puntos de corte con el eje de abscisas , soluciones de la ecuación x2 - 4 = 0 Damos valores a x simétricos respecto a xv - 3 y 3, al igual que -1 y 1 son simétricos respecto a x = 0 y 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 3º ESO Apuntes

Matemáticas 3º ESO Apuntes PROPIEDADES DOMINIO Sea la función f(x) = a.x2 + b.x + c Como en cualquier función polinómica, para cualquier valor de x habrá un valor o imagen de y . El dominio de f(x) será R.  Dom f(x) = R RECORRIDO Recorrido o imagen son todos los posibles valores que puede tomar f(x), o sea la ordenada, y. La imagen de una función cuadrática sólo existe del vértice a +oo o del vértice a –oo, según sea cóncava o convexa. Img f(x) = (yv , + oo) en las funciones cuadráticas CÓNCAVAS. Img f(x) = (- oo, yv ) en las funciones cuadráticas CONVEXAS. SIMETRÍA Como su gráfica es una parábola, sólo puede tener simetría PAR: f(x) = f(-x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 3º ESO Apuntes

Ejemplos: Dominio e imagen Sea f (x) = - x2 + x Dom f(x) = R Vértice: xv = - b / 2.a = - 1 / 2.(-1) = 1 / 2 yv= - (1/2)2 + 1 / 2 = - 0,25 + 0,5 = 0,25 V(0’5 , 0´25) Img f(x) = (- oo, 0,25] EJEMPLO 1 Sea f (x) = x2 - 3 Dom f(x) = R Vértice: xv = - b / 2.a = -0/2.1 = 0 yv= 02 - 3 = - 3 V(0, - 3) Img f(x) = [ - 3, +oo) V 0,25 NO es una función PAR V -3 Función PAR @ Angel Prieto Benito Matemáticas 3º ESO Apuntes