Estadística Administrativa II USAP Estadística Administrativa II 2018-1 Regresión lineal simple

Análisis de regresión Técnica para desarrollar la ecuación de regresión y proporcionar los valores estimados.

Ecuación que expresa la relación lineal entre dos variables. Ecuación de Regresión Ecuación que expresa la relación lineal entre dos variables.

Principio de mínimos cuadrados “Determina una ecuación de regresión al minimizar la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los valores reales de Y y los valores pronosticados de Y.” (Lind |Marchal |Wathen, 2008, p.471).

𝑌 =𝑎+𝑏𝑋 Ecuación de regresión 𝑌 : Valor de pronóstico 𝑋 : Variable independiente 𝑎 : Intersección en Y 𝑏 : Pendiente de la ecuación de regresión

Pendiente de la recta de regresión 𝑏=𝑟∗ 𝑠 𝑌 𝑠 𝑋 𝑏 : Pendiente de la ecuación de regresión 𝑟 : Coeficiente de correlación 𝑠 𝑌 : Desviación estándar de Y 𝑠 𝑋 : Desviación estándar de X

Intercepto en Y 𝑎= 𝑌 −𝑏 𝑋 𝑎 : Intercepto en Y 𝑌 : Media aritmética de la variable Y 𝑏 : Pendiente de la ecuación 𝑋 : Media aritmética de la variable X

Ejemplo . . . En una empresa multinacional se estudió la relación entre las ventas reportadas y los gastos generados por publicidad. La información del último cuatrimestre, en millones de dólares se detalla a continuación. Determinar la ecuación de regresión. Estimar las ventas cuando se gastan 6 millones de dólares en publicidad.

. . .Ejemplo Calcular el coeficiente de correlación 𝑋 = 10 4 =2.5 - Calcular las medias aritméticas 𝑋 = 10 4 =2.5 𝑌 = 28 4 =7

. . .Ejemplo 𝑋 =2.5 𝑌 =7 Calcular el coeficiente de correlación - Calcular variación simple

. . .Ejemplo 𝑋 =2.5 𝑌 =7 Calcular el coeficiente de correlación - Calcular variación cuadrada - Calcular desviación estándar 𝑠 𝑌 = 26 4−1 =2.94 𝑠 𝑋 = 5 4−1 =1.29

. . .Ejemplo Calcular el coeficiente de correlación 𝑠 𝑋 =1.29 𝑋− 𝑋 𝑌− 𝑌 =11 𝑠 𝑌 =2.94 𝑛=4 𝑟= 𝑋− 𝑋 (𝑌− 𝑌 ) 𝑛−1 𝑠 𝑋 𝑠 𝑌 𝑟= 11 (4−1)(1.29)(2.94) 𝑟=0.967

. . .Ejemplo Determinar la Ecuación de regresión lineal - Calcular la pendiente de la ecuación 𝑏=𝑟∗ 𝑠 𝑌 𝑠 𝑋 𝑏=0.967∗ 2.94 1.29 𝑏=2.2 𝑠 𝑋 =1.29 𝑠 𝑌 =2.94 𝑟=0.967 - Calcular el intercepto de la ecuación 𝑋 =2.5 𝑎= 𝑌 −𝑏 𝑋 𝑎=7− 2.2 2.5 𝑎=1.5 𝑌 =7 𝑏=2.2

. . .Ejemplo 𝑎=1.5 Ecuación de regresión lineal 𝑏=2.2 𝑌 =1.5+2.2𝑋

. . .Ejemplo 𝑌 =1.5+2.2𝑋 𝑎=1.5 𝑏=2.2 Ecuación de regresión lineal - Recta de regresión lineal

. . .Ejemplo Calcular la estimación si se gastan 6 millones de dólares. 𝑌 =1.5+2.2𝑋 𝑋=6 𝑌 =1.5+2.2 6 =14.7 Si se gastan 6 millones de dólares en publicidad se podrían esperar ventas de 14.7 millones.

Error estándar de la estimación “Medida de dispersión de los valores observados respecto de la recta de regresión.” (Lind |Marchal |Wathen, 2008, p.478).

Error estándar de la estimación Si el error estándar es pequeño, los datos están relativamente cercanos a la recta de la ecuación lineal. Se predice con poco error. Si el error estándar de la estimación es grande, los datos están dispersos. Se predice con error.

Error estándar de la estimación 𝑠 𝑌∙𝑋 = (𝑌− 𝑌 ) 2 𝑛−2 𝑠 𝑌∙𝑋 : Error estándar de la estimación 𝑌 : Dato observado de variable dependiente 𝑌 : Valor pronosticado paralelo a Y 𝑛 : Tamaño de la muestra

Ejemplo . . . En una empresa multinacional se estudió la relación entre las ventas reportadas y los gastos generados por publicidad. La información del último cuatrimestre, en millones de dólares se detalla a continuación. Calcular el error estándar de la estimación para la ecuación: 𝑌 =1.5+2.2𝑋

. . .Ejemplo 𝑠 𝑌∙𝑋 = (𝑌− 𝑌 ) 2 𝑛−2 Calcular la tabla de pronósticos

. . .Ejemplo Calcular la variación de Y con respecto al pronóstico.

. . .Ejemplo Calcular el error de la estimación 𝑠 𝑌∙𝑋 = (𝑌− 𝑌 ) 2 𝑛−2 𝑠 𝑌∙𝑋 = (𝑌− 𝑌 ) 2 𝑛−2 𝑠 𝑌∙𝑋 = 1.8 4−2 =0.95

Intervalos de confianza y de predicción El error estándar de la estimación también se emplea para establecer intervalos de confianza. Cuando el tamaño de la muestra es grande y la dispersión respecto a la recta de regresión se aproxima a la distribución normal.

Intervalo de confianza 𝐼𝐶 𝑥% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2 Intervalos Intervalo de predicción 𝐼𝐶 𝑥% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1+ 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2

Intervalo de confianza 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2 𝑌 : Pronóstico 𝑡 : Valor según el nivel de significancia en la tabla t-Student 𝑠 𝑌∙𝑋 : Error estándar de la estimación 𝑛 : Tamaño de la muestra 𝑋 : Variable independiente 𝑋 : Media aritmética de la variable independiente

Ejemplo . . . 14-febrero En una empresa multinacional, los pronósticos de las ganancias por ventas (Y) están relacionados con los gastos en publicidad (X) en base a la ecuación 𝑌 = 1.5+2.2X, con un error estándar de la estimación de 0.95. La tabla de pronósticos asociada es la siguiente:

. . . Ejemplo 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2 𝑛=4 𝑌 =1.5+2.2𝑋 Con una confiabilidad del 95%, determinar el intervalo de confianza para cuando la empresa gaste 5 millones de lempiras. 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2 Datos conocidos 𝑛=4 𝑌 =1.5+2.2𝑋 𝑋− 𝑋 2 =5 𝑠 𝑌∙𝑋 =0.95 Calcular la media aritmética para la variable X = 5. 𝑋 = 2+1+3+4 4 =2.5

. . . Ejemplo 𝑋 =2.5 Calcular el pronóstico para la variable X = 5. 𝑌 =1.5+2.2 5 =12.5 Determinar el valor de t para el intervalo de confianza del 95% para muestras de tamaño 4. 𝑔𝑙=4−2=2 𝑡=4.303 Calcular la variación cuadrada de X con respecto a la media aritmética 𝑋− 𝑋 2 = 5−2.5 2 =6.25

. . . Ejemplo Determinar el valor de t para el intervalo de confianza del 95% para muestras de tamaño 4. 𝐼𝐶 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2 𝐼𝐶 95% =12.5±4.303∗0.95 1 4 + 6.25 5 𝐼𝐶 95% =12.5±4.303∗1.16 𝐼𝐶 95% = 12.5−5.01=7.49 12.5+5.01=17.51 Con un 95% de confianza se puede prever una ganancia entre 7 y 18 millones

Intervalo de predicción 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1+ 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2 𝑌 : Pronóstico 𝑡 : Valor según el nivel de significancia en la tabla t-Student 𝑠 𝑌∙𝑋 : Error estándar de la estimación 𝑛 : Tamaño de la muestra 𝑋 : Variable independiente 𝑋 : Media aritmética de la variable independiente

Ejemplo . . . En una empresa multinacional, los pronósticos de las ganancias por ventas (Y) están relacionados con los gastos en publicidad (X) en base a la ecuación 𝑌 = 1.5+2.2X. La tabla de pronósticos asociada es la siguiente:

. . . Ejemplo 𝐼𝑃 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1+ 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2 Con los datos con que se calculó el intervalo de confianza del 95%, determinar el intervalo de predicción para el mes específico en que se gasten 5 millones de Lempiras. Datos conocidos 𝐼𝐶 95% =12.5±4.303∗0.95 1 4 + 6.25 5 Fórmula del intervalo de predicción. 𝐼𝑃 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1+ 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2

. . . Ejemplo Intervalo de predicción 𝐼𝐶 95% =12.5±4.303∗0.95 1 4 + 6.25 5 Intervalo de predicción 𝐼𝑃 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1+ 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2 𝐼𝑃 95% =12.5±4.303∗0.95 1+ 1 4 + 6.25 5 =12.5±6.46 𝐼𝑃 95% = 12.5−6.46=6.04 12.5+6.46=18.96 Con un 95% de confianza se puede predecir una ganancia entre 6 y 19 millones

Prácticas

Práctica # 1 En una empresa que se dedica a hacer viajes a la ciudad de Tegucigalpa, los viajes que se realizan están relacionados con la cantidad de vehículos que se mantienen activos cada día. Una muestra de 8 días, reveló la cantidad de viajes que se habían realizado. Determinar el intervalo de confianza y el intervalo de predicción del 95% para 10 vehículos

Desarrollo práctica # 1 Coeficiente de correlación Coeficiente de determinación Prueba de la fortaleza de la correlación Ecuación de regresión lineal Error estándar de la estimación Intervalo de confianza Intervalo de predicción

Desarrollo práctica # 1 Coeficiente de correlación - Media aritmética 𝑋 =5 𝑌 =11

Desarrollo práctica # 1 Coeficiente de correlación 𝑋 =5 𝑌 =11 - Variación simple

Desarrollo práctica # 1 Coeficiente de correlación 𝑋 =5 𝑌 =11 - Variación cuadrada

Desarrollo práctica # 1 Coeficiente de correlación 𝑋 =5 𝑌 =11 - Desviación estándar 𝑠 𝑋 = 𝑋 𝑖 − 𝑋 2 𝑛−1 = 22 8−1 =1.77 𝑠 𝑌 = 𝑌 𝑖 − 𝑌 2 𝑛−1 = 66 8−1 =3.07 - Tamaño de la muestra 𝑛=8

Existe una correlación negativa fuerte Desarrollo práctica # 1 𝑋 =5 Coeficiente de correlación 𝑌 =11 𝑋 𝑖 − 𝑋 𝑌 𝑖 − 𝑌 =−27 𝑛=8 𝑠 𝑋 =1.77 𝑠 𝑌 =3.07 𝑟= 𝑋 𝑖 − 𝑋 𝑌 𝑖 − 𝑌 𝑛−1 𝑠 𝑋 𝑠 𝑌 𝑟= −27 8−1 1.77∗3.07 Existe una correlación negativa fuerte 𝑟=−0.71

Desarrollo práctica # 1 Coeficiente de determinación 𝑟=−0.71 𝑟 2 = −0.71 =0.5039 Existe una correlación negativa del 50% Importancia del coeficiente de correlación Paso 1: Hipótesis nula y alternativa 𝐻 0 :𝜌=0 𝐻 𝑎 :𝜌≠0 Paso 2: Nivel de significancia 𝛼=0.05

Desarrollo práctica # 1 Importancia del coeficiente de correlación Paso 3: Estadístico de prueba 𝑡= 𝑟 𝑛−2 1− 𝑟 2 Paso 4: Regla de decisión 𝐻 0 :𝜌=0 2 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑠 𝛼=0.05 𝑛=8 𝑔𝑙=6 𝑡=2.447

Desarrollo práctica # 1 Importancia del coeficiente de correlación 𝑡=2.447 Importancia del coeficiente de correlación Paso 5: Toma de decisión 𝑡= 𝑟 𝑛−2 1− 𝑟 2 = −0.71(8−2) 1−0.5039 𝑡=−6.05 La hipótesis nula se rechaza Sí existe relación entre ambas variables corregir

Desarrollo práctica # 1 Ecuación de regresión lineal 𝑌 =𝑎+𝑏𝑋 𝑋 =5 𝑌 =11 𝑌 =𝑎+𝑏𝑋 𝑠 𝑋 =1.77 - Pendiente 𝑠 𝑌 =3.07 𝑏=𝑟∗ 𝑠 𝑌 𝑠 𝑋 =−0.71∗ 3.07 1.77 𝑟=−0.71 𝑏=−1.23 - Intercepto 𝑎=11−(−1.23)(5) 𝑎=17.2

Desarrollo práctica # 1 Ecuación de regresión lineal 𝑌 =17.2−1.23𝑋 Recta de ecuación lineal

Desarrollo práctica # 1 Ecuación de regresión lineal Pronósticos 𝑌 =17.2−1.23𝑋 Pronósticos

Desarrollo práctica # 1 Error estándar de la estimación. 𝑠 𝑌∙𝑋 = (𝑌− 𝑌 ) 2 𝑛−2 𝑠 𝑌∙𝑋 = 32.9 8−2 =2.34

Desarrollo práctica # 1 Intervalo de confianza 𝑠 𝑌∙𝑋 =2.34 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2 - Pronóstico para 10 vehículos 𝑌 =17.2−1.23 10 =4.9=5 - Valor de t del 95% para n=8 𝑔𝑙=8−2 𝑡=2.447

Desarrollo práctica # 1 𝑋 =5 Intervalo de confianza - Variación cuadrada para X=10 𝑋− 𝑋 2 = 10−5 2 =25 - Variación cuadrada de la muestra 𝑋− 𝑋 2 =

Desarrollo práctica # 1 𝑋 =5 Intervalo de confianza 𝑌 =5 𝑡=2.447 𝐼𝐶 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2 𝑌 =5 𝑡=2.447 𝑠 𝑌∙𝑋 =2.34 𝑛=8 𝑋− 𝑋 2 =25 𝑋− 𝑋 2 =22

Desarrollo práctica # 1 Intervalo de confianza 𝐼𝐶 95% =5±6.43 𝐼𝐶 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2 𝐼𝐶 95% =5±2.447∗2.34 1 8 + 25 22 𝐼𝐶 95% =5±6.43 𝐼𝐶 95% = 5−6.43=−1.43 5+6.43=11.43 El intervalo del 95% de confianza para un promedio de 10 vehículos estima una ganancia en las ventas entre 0 y 11 millones.

Desarrollo práctica # 1 Intervalo de predicción 𝐼𝑃 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1+ 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2 𝐼𝑃 95% =5±2.447∗2.34 1+ 1 8 + 25 22 =5±8.61 𝐼𝑃 95% = 5−8.61=−3.61 5+8.61=13.61 El intervalo del 95% de predicción cuando estén activos 10 vehículos estima una ganancia en las ventas entre 0 y 14 millones.

Práctica # 2 En el negocio de publicidad, la circulación es parte vital. Cuantas más ventas registre una revista, mayor cantidad de anunciantes tendrá. Los siguientes datos representan las ventas reportadas y las ventas auditadas de los puestos de periódicos para las siguientes 7 revistas: Determinar el intervalo de confianza y el intervalo de predicción del 95% para 400,000 revistas reportadas.

Desarrollo de práctica # 2 Primero se reportan las ventas (X) y luego se auditan (Y). Para manejar de manera fácil los números, se divide entre múltiplos de 10. En este caso se hizo la división entre 10,000, redondeado a 1 decimal.

Desarrollo de práctica # 2 Diagrama de dispersión

Desarrollo práctica # 2 Coeficiente de correlación - Media aritmética 𝑋 =39.0 𝑌 =25.4

Desarrollo práctica # 2 Coeficiente de correlación 𝑋 =39.0 𝑌 =25.4 - Variación simple

Desarrollo práctica # 2 Coeficiente de correlación 𝑋 =39.0 𝑌 =25.4 - Variación cuadrada

Desarrollo práctica # 2 Coeficiente de correlación 𝑋 =39.0 𝑌 =25.4 - Desviación estándar 𝑠 𝑋 = 𝑋 𝑖 − 𝑋 2 𝑛−1 = 2154.4 7−1 =18.9 𝑠 𝑌 = 𝑌 𝑖 − 𝑌 2 𝑛−1 = 763.8 7−1 =11.3 - Tamaño de la muestra 𝑛=7

Existe una relación positiva fuerte Desarrollo práctica # 2 Coeficiente de correlación 𝑋 =39.0 𝑋 𝑖 − 𝑋 𝑌 𝑖 − 𝑌 =1163.4 𝑌 =25.4 𝑛=7 𝑠 𝑋 =18.9 𝑠 𝑌 =11.3 𝑟= 𝑋 𝑖 − 𝑋 𝑌 𝑖 − 𝑌 𝑛−1 𝑠 𝑋 𝑠 𝑌 𝑟= 1163.4 7−1 18.9∗11.3 Existe una relación positiva fuerte 𝑟=0.907

Desarrollo práctica # 2 Coeficiente de determinación 𝑟=0.907 𝑟 2 = 0.907 =0.8226 Existe una correlación positiva del 82% Importancia del coeficiente de correlación Paso 1: Hipótesis nula y alternativa 𝐻 0 :𝜌=0 𝐻 𝑎 :𝜌≠0 Paso 2: Nivel de significancia 𝛼=0.05

Desarrollo práctica # 2 Importancia del coeficiente de correlación Paso 3: Estadístico de prueba 𝑡= 𝑟 𝑛−2 1− 𝑟 2 Paso 4: Regla de decisión 𝐻 0 :𝜌=0 2 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑠 𝛼=0.05 𝑛=7 𝑔𝑙=5 𝑡=2.571

Desarrollo práctica # 2 Importancia del coeficiente de correlación 𝑡=2.571 Desarrollo práctica # 2 Importancia del coeficiente de correlación Paso 5: Toma de decisión 𝑡= 𝑟 𝑛−2 1− 𝑟 2 = 0.907(7−2) 1−0.8226 𝑡=10.766 La hipótesis nula se rechaza Sí existe relación entre ambas variables

Desarrollo práctica # 2 Ecuación de regresión lineal 𝑌 =𝑎+𝑏𝑋 𝑛=7 𝑟=0.907 𝑛=7 𝑌 =𝑎+𝑏𝑋 𝑠 𝑋 =18.9 - Pendiente 𝑠 𝑌 =11.3 𝑏=𝑟∗ 𝑠 𝑌 𝑠 𝑋 =0.907∗ 11.3 18.9 𝑋 =39.0 𝑌 =25.4 𝑏= 0.54 - Intercepto 𝑎=25.4−(0.54)(39) 𝑎=4.34

Desarrollo práctica # 2 Ecuación de regresión lineal 𝑌 =4.32+0.54𝑋 Recta de ecuación lineal

Desarrollo práctica # 2 Ecuación de regresión lineal Pronósticos 𝑌 =4.32+0.54𝑋 Pronósticos

Desarrollo práctica # 2 Error estándar de la estimación. 𝑠 𝑌∙𝑋 = (𝑌− 𝑌 ) 2 𝑛−2 𝑠 𝑌∙𝑋 = 135.5 7−2 =5.21

Desarrollo práctica # 2 Intervalo de confianza 𝑌 =4.32+0.54 40 =25.9 𝑠 𝑌∙𝑋 =5.21 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2 - Pronóstico para 400 mil revistas reportadas 𝑌 =4.32+0.54 40 =25.9 - Valor de t para n=7 𝑔𝑙=7−2 𝑡=2.571

Desarrollo práctica # 2 Intervalo de confianza 𝑋 =39.0 Intervalo de confianza - Variación cuadrada para X=40 𝑋− 𝑋 2 = 40−39 2 =1 - Variación cuadrada de la muestra 𝑋− 𝑋 2 =

Desarrollo práctica # 2 Intervalo de confianza 𝑌 =25.92 𝑡=2.571 𝐼𝐶 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2 𝑌 =25.92 𝑡=2.571 𝑠 𝑌∙𝑋 =5.21 𝑛=7 𝑋− 𝑋 2 =25 𝑋− 𝑋 2 =2154.4

Desarrollo práctica # 2 Intervalo de confianza 𝐼𝐶 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2 𝐼𝐶 95% =25.9±2.571∗5.21 1 7 + 1 2154.4 𝐼𝐶 95% =25.9±5.07 𝐼𝐶 95% = 25.9−5.07=20.86 25.9+5.07=30.99 El intervalo del 95% de confianza para 400 mil revistas reportadas puede estar entre 209 y 310 mil revistas auditadas.

Desarrollo práctica # 2 Intervalo de predicción 𝐼𝑃 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1+ 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2 𝐼𝑃 95% =25.9±2.571∗5.21 1+ 1 7 + 1 2154.4 𝐼𝑃 95% =25.9±14.31 𝐼𝑃 95% = 25.9−14.31=11.62 25.9+14.31=40.23 El intervalo del 95% de predicción para 400 mil revistas reportadas sería una auditoría entre 116 y 402 mil revistas.

Excel Técnica para el cálculo de la regresión lineal

Diagrama de dispersión

Diagrama de dispersión Dar clic sobre uno de los puntos generados

Ecuación de regresión lineal Dar clic al botón derecho de mouse

Ecuación de regresión lineal

Ecuación de regresión lineal

Ecuación de regresión lineal

Ecuación de regresión lineal

Ecuación de regresión lineal

Ecuación de regresión lineal

Error estándar de la estimación 𝑠 𝑋∙𝑌 = 𝑌− 𝑌 2 𝑛−2

Error estándar de la estimación 𝑠 𝑋∙𝑌 = 𝑌− 𝑌 2 𝑛−2

Error estándar de la estimación 𝑠 𝑋∙𝑌 = 𝑌− 𝑌 2 𝑛−2

Error estándar de la estimación 𝑠 𝑋∙𝑌 = 𝑌− 𝑌 2 𝑛−2

Error estándar de la estimación

Fin de la presentación Muchas gracias Lind, D.A., Marchal, W.G., Wathen, S.A. (15). (2012). Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. México: McGrawHill David M. Levine, Timothy C. Krehbiel, Mark L. Berenson. 2006. Estadística para Administración. (4° edición). Naucalpan de Juárez, México.: Pearson Prentice Hall