Universidad Nacional del Litoral Facultad de Ingeniería y Ciencias Hídricas   ESTADÍSTICA    Ingenierías RH-Amb-Ag  TEORÍA Mg. Susana Vanlesberg Profesor Titular

EJEMPLOS DE SITUACIONES QUE IMPLICAN LA REALIZACIÓN DE TEST

Prueba para la media poblacional, desvío estándar σ conocido Las plantas químicas deben regularse para evitar el envenenamiento de peces en los ríos o arroyos cercanos. Se desea averiguar si el valor de cierto líquido contaminante es realmente 200 microgramos por litro de agua. Se sometieron a estudio 16 arroyos contaminados con ese líquido y se observó un valor promedio de 203.5 microgramos por litro de agua. Se supone por experiencia que el desvío estándar es de 16 microgramos por litro.

El planteo de las hipótesis será: El nivel de significación α se fijó en el 5%. Es una prueba a dos colas o bilateral

0.95 α/2 = 0.025 α/2 = 0.025 Valores críticos Región de rechazo

El estadístico de prueba es:

Para obtener el valor p se halla la probabilidad de obtener un valor de z menor que -0.875; es 0.1908 y, como la distribución normal es simétrica, la probabilidad de obtener un valor de z mayor que +0.875 es también 0.1908. El valor p para esta prueba bilateral es 0.1908 + 0.1908 = 0.3816. Este resultado puede interpretarse como que la probabilidad de obtener un estadístico igual o más exacto que el observado es de 0.3816. Como este valor es mayor que α = 0.05, no hay evidencia para rechazar la hipótesis nula.

Dado que 0.875 no cae en la región de rechazo, no hay evidencia suficiente para rechazar H0. Se concluye que la media poblacional no es distinta de 200. Con esto no se ha probado que H0 es verdadera, sino que, con el nivel de significación elegido, los datos de la muestra no arrojan suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula.

Podemos, ahora, utilizar el planteo del valor p Podemos, ahora, utilizar el planteo del valor p. Como utilizamos una prueba bilateral, necesitamos calcular la probabilidad de obtener un valor de z mayor que +0.875, junto con la probabilidad de obtener un valor de z menor que -0.875. Se debería llegar a la misma conclusión

Cálculo de β Con los datos del ejemplo: n = 16 = 203.5 σ = 16 α = 5% μ0 = 200 Supongamos que la media poblacional, que no se conoce, es en realidad 190 microgramos por litro de agua o sea menor que lo planteado en la hipótesis nula. Vamos a encontrar la probabilidad de aceptar que el promedio de líquido contaminante es 200 microgramos por litro de agua? O sea, la probabilidad de cometer un error tipo II.

El estadístico de prueba en este caso será Entonces

P( z > 0.5 ) = 0.3085

Esto significa que la probabilidad de cometer un error tipo II, es decir, la probabilidad de aceptar que el promedio líquido de contaminante en esos arroyos es de 200 microgramos por litro de agua, cuando en realidad es de 190 microgramos por litro, es de 30.85%.

1 – α = 0.95 α/2 α/2 0.025 0.025 -1.96σ μ0 +1.96 σ 192 200 208 1 - β β = 0.3085 μ1 192 190

Dado que ésta es una prueba bilateral, otro ejemplo de cometer un error tipo II, sería aceptar H0 cuando que el promedio real de la población es de 212 microgramos por litro. Con el mismo procedimiento y recordando el estadístico de prueba:

Donde ahora Entonces P( z < -1 ) = 0.1587

1 – α = 0.95 α/2=0,025 α/2=0,025 -1.96 μ0 +1.96 192 200 208 1 - β β = 0.1587 208 μ1 212

Un organismo de control ambiental tiene la responsabilidad de vigilar la calidad del agua para la cría de peces con fines comerciales. Esta interesado en determinar si la concentración media de cierta sustancia tóxica, en dos estuarios, cuyas aguas se encuentran contaminadas por desperdicios industriales, es la misma. Se tomaron 11 muestras en el estuario 1 y 8 en el estuario 2. Los resultados de laboratorio son los que se indican en la tabla: El organismo informó que la concentración promedio de sustancia tóxica es la misma en los dos estuarios. A partir de los datos, ¿se puede estar de acuerdo con esta afirmación?

El planteo de las hipótesis es Datos: nx = 11, ny = 8 El planteo de las hipótesis es H0: μx = μy H1: μx ≠ μy Como no se conocen los desvíos poblacionales y los tamaños de muestra, nx y ny son chicos ( < 30 ), primero hay que verificar la igualdad de varianzas desconocidas.

Aceptar H0 si

Planteamos ahora el test de igualdad de medias H0: μx = μy H1: μx ≠ μy El estadístico de prueba es

Como │ tc │ > │ttab │cae en zona de rechazo, por lo que no hay evidencia para aceptar la hipótesis de que la concentración promedio de sustancia tóxica es la misma en los dos estuarios.

-2.11 2.11 2.26 Región de rechazo α/2 = 0.025 Región de rechazo -2.11 2.11 2.26

En un laboratorio de hidráulica se está ensayando un procedimiento de medición de perfiles de velocidad en régimen turbulento. La tensión de corte en el fondo sigue una distribución normal. Tomada una serie de mediciones se quiere probar la hipótesis de que la tensión de corte tiene una desviación estándar de a lo sumo 2.05. Los resultados que arrojaron las mediciones fueron: 17 – 21 – 19 – 18 – 16 – 21 – 20 – 22 – 16 – 19 Se puede estar de acuerdo con la propuesta?

Datos: n = 10 S’ = 2. 13, proponemos un nivel de significación de 5% Datos: n = 10 S’ = 2.13, proponemos un nivel de significación de 5%. Tenemos una prueba unilateral por derecha H0: σ2 ≤ (2.05)2 H1: σ2 >(2.05)2 El estadístico de prueba es El valor de

Como 10.81 < 16.92, cae en zona de no rechazo, por lo que no tenemos suficiente evidencia para rechazar la hipótesis de que la desviación estándar de la tensión de corte es a lo sumo 2.05. Región de no rechazo 1 – α = 0.95 Región de rechazo α = 0.05 10.81 16.92