Análisis de las Redes de Petri UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS POSTGRADO EN CIENCIAS DE LA COMPUTACION Análisis de las Redes de Petri María E. Villapol mvillap@ciens.ucv.ve

Introducción Después de modelar un sistema: Qué podemos hacer con este modelo? Una de las fortalezas de las Redes de Petri es su soporte al análisis de muchas propiedades y problemas asociados con los sistemas concurrentes.

Clasificación de las Propiedades de una Red de Petri Se han definidos ciertas propiedades que pueden ser estudiadas en un sistema modelado. Un clasificación de las mismas (Rukoz) (Murata 1989): Comportamentales (básicas): dependen del marcado inicial. Estructurales: dependen de las estructuras de la red de Petri.

Accesibilidad (Reachability) La ocurrencia de una transición habilitada cambiará la distribución de los tokens (marcados) en la red de acuerdo a las reglas de transición vistas. Una secuencia de ocurrencias resultaran en una secuencia de marcados. Mn denota el marcado n. Un marcado Mn se dice alcanzable desde M0 (marcado inicial) si existe una secuencia de ocurrencias que transforman M0 en Mn.

Accesibilidad (Reachability) Una secuencia de concurrencias se denota como  = M0 t1 M1 t2 M2 … tn Mn o simplemente  = t1 t2 … tn. M0 [> Mn denota que Mn es alcanzable desde M0 por . El conjunto de posibles marcados alcanzables desde M0 en una red (N,M0) se denota como R(N,M0) o R(M0) o [M0 >. Siendo [M> el conjunto de marcados alcanzables desde un marcado M. El conjunto de posibles secuencia de ocurrencias de M0 en una red (N,M0) se denota como L(N,M0) o L(M0). El problema de accesibilidad es entonces encontrar si Mn  R(M0) ([M0>) para un determinado marcado Mn en la red (N,M0).

Accesibilidad (Reachability) Definición: Sea N una Red de Petri, sea [M> el conjunto mas pequeño de marcados tal que: M  [M> y Si M1  [M> y para algún t  TN M1[t>M2 entonces M2  [M>. M[t>M’ significa que M’ es directamente alcanzable desde M por la ocurrencia de t.

Accesibilidad (Reachability) Ejemplo, a través de esta propiedad podemos chaquear que podemos llegar a construir la puertas de la casa en el caso de la actividad 1. Podemos chequear que un producto es consumido una vez producido en la caso del ejemplo del productor-consumidor.

Acotamiento (Bounded) Una red de Petri (N,M0) se dice k-acotada o acotada si el numero de marcas (tokens) en cada plaza no excede un numero finito k para cada marcado alcanzable desde M0 ([M0>). Es decir, M(p)  k para cada plaza s y marcado M  [M0>.

Acotamiento (Bounded) Definición: Sea una Red de Petri N = (S,T,F,K,W,M0): Una plaza s  S es acotada por n  N si y solo si:  M  [M0>, M(s)  n. N es acotada por n  N (n-acotada) si y solo si  s  S, s es acotado por n. Una red de Petri N se dice segura si es 1-acotada.

Acotamiento (Bounded) Ejemplo, verificando que una red es acotada o segura se garantiza que no habrá overflows en buffer o registros, sin importar que secuencia de ocurrencias se toma. Útil por ejemplo, en modelos de redes de comunicación.

Acotamiento (Bounded) p1 p2 t2 t3 t4 t1 p3 p4 p5 Ejemplo de una Red de Petri segura

Vivacidad (Liveness) Esta relacionada a la ausencia total de abrazos mortales en los Sistemas Operativos. Una Red de Petri (N,M0) se dice estar viva (o equivalentemente M0 se dice ser un marcado vivo para N) si no importa cual marcado ha sido alcanzado desde M0, es posible disparar una transición de la red yendo progresivamente a través de una secuencia de ocurrencias.

Vivacidad (Liveness) Definición: Sea una Red de Petri N = (S,T,F,K,W,M0): t  T es viva sii M  [M0>,  M’  [M >: M’[t >. N esta viva sii t  T , t esta viva.

Vivacidad (Liveness) Desde que la propiedad de vivacidad puede ser impractica `para algunos sistemas y muy costosa de verificar en algunos casos. Asi se han definido diferentes niveles de vivacidad (Murata, 1989): Una transición t de una Red de Petri N se dice ser: Muerta (L0-viva), si t nunca puede ocurrir en una secuencia de ocurrencias L(M0). L1-viva (potencialmente fiable), si t puede ocurrir al menos una vez en una secuencia de ocurrencias L(M0). L2-viva si, dado un entero positivo k, t puede ocurrir al menos k veces en una secuencia de ocurrencias L(M0). L3-viva si t aparece infinitamente, frecuente en una secuencia de ocurrencias L(M0). L4-viva o viva si t es L1-viva para cada marcado M en [M0>.

Vivacidad (Liveness) Un Red de Petri se dice Lk-viva si cada transición en la red es Lk-viva, k=0,1,2,3,4. Es fácil notar lo siguiente: L4-vivacidad => L3-vivacidad => L2-vivacidad => L1-vivacidad. Se dice que una transición es estrictamente Lk-viva si es Lk-viva pero no L(k+1)-viva, k=1,2,3.

Ejemplo de una Red de Petri segura, pero no viva Ejemplo de una Red de Petri segura, pero no viva. Es estrictamente L1-viva Vivacidad (Liveness) Cada transición puede ocurrir exactamente una vez en el orden t2,t4, t1 y t3 p4 t3 t1 p3 p2 p1 t4 t2 p3 p3 t5

Estado Local (Home State) Un marcado local (home marking) es un marcado que puede ser siempre alcanzado por el resto de los marcados alcanzables.

Estado Local (Home State) Definición: Sea una Red de Petri N = (S,T,F,K,W,M0): M’ [M0> es un estado local sii, M  [M0>, M’  [M >.

No Abrazos Mortales Un marcado esta muerto si no se puede disparar ninguna transición a partir de él. Definición: Sea una Red de Petri N = (S,T,F,K,W,M0), N es libre de abrazos mortales sii: M  [M0>, t  T: M[t >.

Sub-clases de Redes de Petri Se usará la siguiente notación: t = {s ‌ (s,t)  F } = conjunto de plazas de entrada de t t = {s ‌ (t,s)  F } = conjunto de las plazas de salida de t s = {t ‌ (t,s)  F } = conjunto de transiciones de entrada de s s = {t ‌ (s,t)  F } = conjunto de transiciones de salida de s.

Sub-clases de Redes de Petri Máquina de Estado: es una red de Petri tal que cada transición t tiene exactamente una plaza de entrada y una plaza de salida. Definición: Una Red de Petri N = (S,T,F,K,W,M0) es una maquina de estado si:  t  T, ‌ t ‌ = ‌ t ‌ = 1

Sub-clases de Redes de Petri Máquina de Estado

Sub-clases de Redes de Petri Grafo Marcado: es una red de Petri tal que cada plaza s tiene exactamente una transición de entrada y una transición de salida. Definición: Una Red de Petri N = (S,T,F,K,W,M0) es un grafo marcado si:  s  S, ‌ s ‌ = ‌ s ‌ = 1

Sub-clases de Redes de Petri Grafo de Estado

Sub-clases de Redes de Petri Red de Elección Libre: es una Red de Petri tal que cada arco de una plaza es un único arco de salida o un único arco de entrada para una transición. Definición: Una Red de Petri N = (S,T,F,K,W,M0) es una red de libre elección si:  s  S, ‌ s ‌ > 1 => (s ) ={s}

Sub-clases de Redes de Petri Note que ‌ s3 ‌ = 2 > 1, se debería cumplir que (s3 ) ={s3} (s3 ) = {t2,t3} (s3 ) = {t2,t3} = {t2}  {t3} = s3  s3 = s3 Red de Libre Elección

Referencias Murata T., Petri Nets: Properties, Analysis and Applications. Proceedings of The IEEE, Vol. 77, No. 4, April, 1989, pp 541-580. Rukoz M. Fundamentos de Programción Paralela - Redes de Petri. Lecturas de Docencia. Escuela de Computación. Facultad de Ciencias. UCV.