EPS-UAM Curso de doctorado Modelos de Conectividad 2005-2006 Redes evolutivas EPS-UAM Curso de doctorado Modelos de Conectividad 2005-2006 10/11/2018 Redes evolutivas

Más allá del modelo de Barabási-Albert (BA) (I) Leyes de potencias con exponente variable (1-3) Cutoffs exponenciales Saturación para grado k bajo Procesos subyacentes a conexión preferencial Coeficientes de agrupamiento altos 10/11/2018 Redes evolutivas

Más allá de BA (II) Variantes de conexión preferencial Crecimiento acelerado Alteración de grafo: recableado Crecimiento con restricciones Competición Origen de conexión preferencial 10/11/2018 Redes evolutivas

Conexión preferencial Probabilidad de conexión lineal en BA Influencia en distribución de grados k Determinación experimental según tiempo en que aparece nodo Dependencia de probabilidad con k en redes reales: ley de potencias (lineal o sublineal) 10/11/2018 Redes evolutivas

Conexión preferencial: conexión no lineal Kaprivsky et al.: Scale-free se destruye Caso sublineal: distribución de grados exponencial Caso supralineal: : nodos con una rama y nodo ‘gel’ : nodos con varias ramas (número finito) y nodo ‘gel’ Caso lineal: exponente entre 2 e infinito 10/11/2018 Redes evolutivas

Conexión preferencial: atracción inicial (I) Dogorotsev et al. Probabilidad no nula de conexión a nodo aislado: Modelo: Nuevo nodo M ramas dirigidas desde nodo aleatorio a nodo preferencial 10/11/2018 Redes evolutivas

Conexión preferencial: atracción inicial (II) Atracción inicial no destruye scale-free Se modifica exponente de distribución de grados 10/11/2018 Redes evolutivas

Crecimiento Grado medio constante en BA: crecimiento lineal de número de nodos y ramas Redes reales: grado medio suele crecer Crecimiento acelerado: número de ramas a ritmo mayor que número de nodos 10/11/2018 Redes evolutivas

Crecimiento acelerado: Dogorotsev et al. Nuevo nodo recibe n ramas de nodos aleatorios (grafo dirigido) nuevas ramas desde nodo aleatorio a nodo preferencial (atracción inicial) controla crecimiento acelerado No se destruye scale-free, se modifica exponente 10/11/2018 Redes evolutivas

Crecimiento acelerado: Barabási y Albert Nuevo nodo conectado con b nodos de forma preferencial (BA) Nuevas ramas (fracción a de existentes) según conexión preferencial (producto de grados) Grado medio: <k>=at+2b Grado crítico y doble ley de potencias 10/11/2018 Redes evolutivas

Alteración de elementos de grafo Redes reales con sucesos que cambian grafo de conexión Adición y eliminación de nodos y de ramas Recableado: sustitución de una rama por otra 10/11/2018 Redes evolutivas

Alteración de grafo: Albert y Barabási (I) m0 nodos iniciales aislados m<=m0 nuevas ramas con probabilidad p, extremos aleatorio-preferencial m recableados con probabilidad q, nodo alternativo preferencial Nuevo nodo con m ramas con conexión preferencial, con probabilidad 1-p-q 10/11/2018 Redes evolutivas

Alteración de grafo: Albert y Barabási (II) Ley de potencias generalizada q umbral: P(k) exponencial P(k) se satura para k bajo entre 2 e infinito 10/11/2018 Redes evolutivas

Alteración de grafo: Dogorotsev y Mendes Developing/decaying networks Creación/eliminación de c ramas en cada paso Conexión preferencial (proporcional a producto de grados) c=0 es BA Scale-free: 10/11/2018 Redes evolutivas

Restricciones al crecimiento Envejecimiento y desaparición de nodos (personas en redes sociales) Número de ramas máximo para un nodo (router de internet) 10/11/2018 Redes evolutivas

Restricciones al crecimiento: Amaral et al. Hay redes reales sin scale-free pero no aleatorias Exponencial Ley de potencias con cutoff exponencial Si nodo alcanza su límite de edad o de número de ramas, nadie se puede conectar a él: cutoff exponencial 10/11/2018 Redes evolutivas

Restricciones al crecimiento: Dogorotsev y Mendes Conexión preferencial según edad : scale-free : se aproxima a exponencial 10/11/2018 Redes evolutivas

Competición Modelo BA: antigüedad es un grado Grado de un nodo crece con ley de potencias: Nodos más antiguos, más favorecidos Redes reales: nodos jóvenes pueden atraer muchos nodos nuevos 10/11/2018 Redes evolutivas

Competición: Bianconi y Barabási Fitness model Cada nodo tiene fitness según una distribución de probabilidad Conexión proporcional a fitness Distribución de grados es suma de leyes de potencias, y dependen de 10/11/2018 Redes evolutivas

Competición: Dogorotsev y Mendes Herencia de ramas Nuevo nodo como heredero de nodo aleatorio Hereda fracción c de ramas de ancestro Distribución h(c) No scale-free 10/11/2018 Redes evolutivas

Origen de conexión preferencial: Copiado Kleinberg et al., Kumar et al. Nuevo nodo con m ramas Con probabilidad p se conecta aleatoriamente Con probabilidad1-p a vecino de nodo prototipo (aleatorio) Scale-free con exponente entre 2 e infinito 10/11/2018 Redes evolutivas

Origen de conexión preferencial: Redirección Krapivsky y Redner; equivalente al de Kumar Nuevo nodo se conecta con probabilidad 1-r a nodo aleatorio i Con probabilidad r se redirecciona rama a ancestro de i Scale-free 10/11/2018 Redes evolutivas

Origen de conexión preferencial: Barrido Vázquez Nuevo nodo se conecta a i aleatorio Con probabilidad p se conecta a vecinos de i y así sucesivamente: breadth-first Exponencial para Ley de potencias (exponente aprox. 2) para p superior a valor crítico 10/11/2018 Redes evolutivas

Origen de conexión preferencial: conexión a ramas Dogorotsev et al. Nuevo nodo se conecta a extremos de rama aleatoria Semejante a BA 10/11/2018 Redes evolutivas

Ejercicios Realizar un programa que genere redes según alguno de los modelos vistos Inventar un modelo y realizar un programa que genere redes de acuerdo a él. Estudiar sus propiedades. 10/11/2018 Redes evolutivas