Densidad de energía en el campo electrostático Cogitaciones sobre Física

“Mine is a long and sad tale “Mine is a long and sad tale!” said the Mouse, turning to Alice, and sighing. “It is a long tail, certainly,” said Alice, looking down with wonder at the Mouse’s tail; “but why do you call it sad?” Lewis Carroll Alice's Adventures in Wonderland

DENSIDAD DE ENERGÍA EN EL CAMPO ELECTROSTÁTICO En textos de Electricidad y Magnetismo y Teoría Electromagnética, se demuestra que la energía potencial presente en un sistema de cargas puntuales se determina calculando el trabajo que realiza un agente externo para posicionar dichas cargas en el arreglo final en que se encuentran. Para cargas puntuales, este trabajo está dado por la siguiente expresión (1) Este resultado se puede generalizar para calcular la energía almacenada en una región donde se encuentra una distribución de carga continua. Para llevar a cabo esto, cada carga se sustituye por y la suma anterior se transforma en una integral; así (2) Esta energía total, se puede considerar desde otro punto de vista. A partir de la primera ecuación de Maxwell para la electrostática (3) Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2), se tiene (4)

Empleando a continuación la identidad del análisis vectorial (5) en la ecuación (4), resulta (6) Empleando el teorema de la divergencia en la primera integral y el gradiente de potencial en la segunda integral de la ecuación anterior, es decir entonces (7) La única restricción en la superficie sobre la cual la primera integral de la ecuación (7) se lleva a cabo, es que todas las cargas estén incluidas; por lo que es razonablemente válido considerar que la superficie en esta integral es una esfera de radio infinito. Por otra parte, para cualquier distribución de carga admisible, el integrando de la integral de superficie es cero, ya que decrece asintóticamente conforme a , mientras que lo hace conforma a y crece acorde a . Como resultado, la integral de superficie se hace cero para cualquier problema real. Finalmente (8)

Usualmente, el integrando de la ecuación (8) se denomina densidad de energía, esto es (9) en su forma diferencial. Si se integra la ecuación anterior sobre todo el espacio, se obtiene la energía almacenada en el campo (10) Una interpretación del análisis anterior nos permita afirmar que “la energía está almacenada en el campo eléctrico” ya que la localización de energía almacenada en campo no puede determinarse exactamente. En una de las referencias citadas [2] se declara: “La teoría electromagnética, sin mucha dificultad, hace posible aceptar que la energía de un campo eléctrico o de una distribución de carga se almacena en el campo mismo; si se toma (8), una expresión rigurosamente exacta y correcta.” A pesar de la afirmación anterior, los resultados en ejercicios propuestos, en las referencias consultadas, son incorrectos. Para mostrar esto, a continuación se presenta un caso. En la referencia [4] en la página 150, se propone el siguiente problema: Ejercicio 4.15 Si V, halle en (1, 2, 3) y la energía electromagnética almacenada en un cubo de 2m por lado centrado en origen. Respuesta: V/m, 0.2358 nJ.

(12) Análisis que se plantea: Con la información que se proporciona, se puede conocer el campo eléctrico (10) Por lo que el desplazamiento eléctrico o densidad del flujo eléctrico es (11) Al aplicar la ecuación (3) en la ecuación (11), es claro que (12) resultado que no es acorde con el que propone el texto. Para tratar de dilucidar esta discrepancia, efectuemos las operaciones de la ecuación (6). Para la primera integral (13) Una manera de verificar que este resultado es correcto, es efectuando la integral de superficie de la ecuación (7)

En la segunda integral de la ecuación (6) y teniendo presente que (14)

Considerando las ecuaciones (13) y (14) en la ecuación (6), se tiene un resultado congruente con la ecuación (12). Se han realizado ejercicios propuestos en las referencias utilizadas en este trabajo y los resultados son idénticos al que se obtiene en el ejemplo que se presenta. Conclusiones: Afirmar que un concepto o una idea que se ha tenido por exacto y/o válido, seguramente por mucho tiempo, está equivocado; es muy arriesgado. Pero, también sabemos, por otra parte que en la naturaleza no pueden existir dos verdades. Si consideramos al espíritu primordialmente como la voluntad dirigida a la búsqueda de la verdad, sería conveniente llevar a cabo una revisión exhaustiva de este tema y hacer una propuesta. Por otro lado, tampoco se debe prescindir del factor humano, a saber: el análisis que se presenta podría involucrar errores.  

REFERENCIAS Clayton, R. P., Syed, A. N. Introduction to Electromagnetic Fields. Second Edition. McGraw-Hill Book Company, 1987. [1] Hayt, W. H., Jr. Teoría Electromagnética. McGraw Hill Interamericana de México, S. A. de C. V., 1991. [2] Neff, H. P., Jr. Basic Electromagnetic Fields. New York: Harper & Row, Publishers, 1981. [3] Sadiku, M. N. O. Elementos de Electromagnetismo. Oxford University Press México, S. A. de C. V., 2003. [4]