Sobre las Funciones Trigonométricas Profa. Caroline Rodríguez MATE 3002 UPRA

Hemos enfatizado en presentaciones anteriores que podemos extender las definiciones de las razones trigonométricas para ángulos agudos en un triángulo recto a ángulos de cualquier magnitud en el círculo. Recuerde:

También hemos enfatizado el comportamiento de las razones trigonométricas a medida que rotamos alrededor del círculo formando ángulos. Recuerde que aunque aquí se muestran algunos ángulos más conocidos podemos hallar el seno o el coseno a ángulos con cualquier medida.

Hallar la razón trigonométrica indicada. Nota que el 5 representa 5 radianes. Un ángulo que mide 5 radianes está en 4to cuadrante. ¿Puedes explicar por qué?

Funciones Trigonométricas Para definir las funciones trigonométricas se define como entrada, ϴ, cualquier ángulo medido en radianes. De esta forma el dominio de una función trigonométrica es el conjunto de los números reales. El rango de las funciones f(ϴ) = sin(ϴ) y g(ϴ) = cos (ϴ) es [-1,1]. Estudiaremos algunos detalles sobre las siguientes funciones trigonométricas f(ϴ) = sin(ϴ), g(ϴ) = cos (ϴ) y h(ϴ) = tan (ϴ).

Gráficas de f(x)=sin(x) y g(x) = cos(x) Comenzaremos el estudio de las gráficas de las funciones de seno y coseno armando una tabla de valores.

Gráfica de f(x)=sin(x) Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico. Unamos los puntos con una curva suave y continua.

Gráfica de f(x)=sin(x) Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico. Unamos los puntos con una curva suave y continua.

Gráfica de g(x)=cos(x) Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico. Unamos los puntos con una curva suave y continua.

Gráfica de g(x)=cos(x) Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico. Unamos los puntos con una curva suave y continua.

Gráficas de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x) Observemos las gráficas en un mismo plano trigonométrico.

Gráficas de f(x)=sin(x)

Gráficas de f(x)=cos(x)

Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x) En las gráficas anteriores se puede observar el gran parecido que existe entre ambas. De hecho, parece que podemos trasladar la gráfica de g(x)=cos(x) π/2 unidades y obtener la gráfica de f(x)=sin(x). Podemos describir este parecido diciendo que f(x)= sin(x) = cos(x-[/2]). Es conveniente recordar que el ángulo que mide 90º mide /2 (en números reales o radianes).

Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x) En las gráficas anteriores también se puede observar que los valores de ambas funciones se repiten cíclicamente para múltiplos de 2. Este comportamiento se puede describir f(x) = sin(x) = sin(x + 2n ) donde n pertenece a los enteros (n  ). También podemos decir que g(x) = cos(x) = cos(x + 2n ) donde n  .

Creando nuevas funciones trigonométricas: transformaciones Construya una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones. F(x)=2 sin(x) F(x) = sin(2x) F(x) = 2 sin(x +1) F(x) = 2 sin(x) + 1

Gráfica de f(x) = 2sin(x)

Gráfica de f(x) = sin(2x)

Creando nuevas funciones trigonométricas: transformaciones Construya una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones. F(x)=2 cos(x) F(x) = cos(2x) F(x) = 2 cos(x +1) F(x) = 2 cos(x) + 1

Gráfica de f(x)=2cos(x)

Gráfica de f(x)=cos(2x)

Gráfica de h(x)=tan(x) Vamos a construir una tabla con algunos valores de tangente para varios ángulos. Recordemos que la h(x)=tan(x) NO está definido para algunos ángulos. ¿Por qué?

Como se muestra en siguiente gráfica,, no siempre es posible definir la función tangente de un ángulo (x). De hecho, cuando la función coseno del ángulo toma el valor de cero, la función tangente no está definida (¿por qué?).

Figura 2. Función tangente del ángulo x (en radianes).  2 3 - -2 -3 Figura 2. Función tangente del ángulo x (en radianes).