Sistemas Numéricos 1. Introducción 2. Sistema de Numeración Decimal 3. Sistema de Numeración Binaria 4. Operaciones con Números Binarios 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

Sistemas Numéricos 1. Introducción Todos conocemos y sabemos utilizar muy bien los números decimales, sin embargo no siempre comprendemos los conceptos implícitos en su estructura. Además del sistema de numeración decimal se utilizan otros sistemas numéricos. En tal sentido cobra especial importancia el uso del sistema de numeración binario y el sistema de numeración hexadecimal para entender y representar el funcionamiento de sistemas computacionales y de comunicaciones. Si bien los sistemas numéricos son, básicamente, diferentes formas de representar cantidades, ¿por qué usamos diferentes formas para referirnos a lo mismo?... 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

Sistemas Numéricos 1. Introducción …fundamentalmente por Simplicidad. Por ejemplo, utilizar numeración decimal en un computador (usualmente binario) es complejo e ineficiente. Y ¿por qué un computador utiliza un sistema de numeración binario?… … por la misma razón; Simplicidad. Para entender lo anterior, primero debemos comprender cómo funciona el sistema de numeración decimal. 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

Sistemas Numéricos Sistemas Posicionales: Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, en los que el valor relativo que representa cada símbolo o cifra depende de su valor absoluto y de la posición relativa que representa cada símbolo o cifra con respecto a la coma decimal, íntimamente ligada al valor de la base del sistema de numeración utilizado. Ejemplo: Sistema Binario Base 2, Símbolos 0, 1. Sistema Octal, Base 8, Símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Sistema Decimal Base 10, Símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Sistema Hexadecimal Base 16, Símbolo: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

2. Sistema de Numeración Decimal Sistemas Numéricos 2. Sistema de Numeración Decimal El sistema de numeración decimal se basa en el uso de 10 símbolos o dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Estos se encuentran ordenados (siguen una secuencia) y se diferencian en una unidad respecto del anterior, por lo que cada uno representa una cantidad diferente. Sin embargo, el sistema permite representar más de 10 cantidades diferentes mediante el uso combinado de dos o más dígitos. Para ello, la posición de cada dígito es clave (no es lo mismo 53 que 35), ya que ella representa una magnitud específica. Esta magnitud se conoce como “peso”. Por ejemplo, el número 724 representa la cantidad dada por 7 centenas + 2 decenas + 4 unidades. 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

2. Sistema de Numeración Decimal Sistemas Numéricos 2. Sistema de Numeración Decimal 7 2 4 = 7 x 102 + 2 x 101 + 4 x 100 Peso de la tercera posición = 100 Peso de la primera posición = 1 Peso de la segunda posición = 10 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

2. Sistema de Numeración Decimal Sistemas Numéricos 2. Sistema de Numeración Decimal Los pesos de cada posición están dados por diferentes potencias de 10 (10 porque se trata de un sistema decimal), partiendo por 100, siguiendo por 101, 102, etc. ¿Y qué pasa con los números a la derecha del punto decimal? Los exponentes decrecen tomando valores negativos. Ej: 7 2 4 . 3 9 = 7 x 102 + 2 x 101 + 4 x 100 + 3 x 10-1 + 9 x 10-2 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

2. Sistema de Numeración Decimal Sistemas Numéricos 2. Sistema de Numeración Decimal Dado que el sistema decimal está basado en potencias de 10, es decir, el peso de la siguiente posición varía en una potencia de 10, la multiplicación o división de un número cualquiera por 10 produce el efecto de “desplazar los dígitos” en torno al punto decimal. Ej: 724. x 10 724. ÷ 10 7240. 72.4 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

2. Sistema de Numeración Decimal Sistemas Numéricos 2. Sistema de Numeración Decimal Así mismo, aceptamos que el dígito más significativo es el que está más a la izquierda (tiene mayor peso) y que el menos significativo es el que está más a la derecha. Ej: 7 2 4 Dígito más significativo Dígito menos significativo Estas características (que parecen obvias) resultarán de mucho interés al estudiar otros sistemas numéricos. 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

3. Sistema de Numeración Binario Sistemas Numéricos 3. Sistema de Numeración Binario El sistema de numeración binaria permite, al igual que otros sistemas numéricos, representar cantidades o magnitudes. Su principal característica es que utiliza tan sólo 2 símbolos o dígitos; 0 y 1. De la contracción de las palabras dígito binario nace el término bit (binary digit). Por otro lado ¿podría existir un sistema de numeración que tan sólo utilice 1 símbolo?... 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

3. Sistema de Numeración Binario Sistemas Numéricos 3. Sistema de Numeración Binario NO es posible que exista un sistema de numeración que utilice sólo 1 símbolo. Eso significa que el sistema binario utiliza la mínima cantidad de símbolos posibles, siendo el más básico y simple de todos, razón por la cual se utiliza frecuentemente en sistemas computacionales y de comunicaciones. Y ¿cuáles son las propiedades de este sistema de numeración? Básicamente las mismas que del sistema decimal, salvo que por tratarse de un sistema de 2 dígitos, los pesos de cada posición están representados por potencias de 2 en vez de potencias de 10. 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

3. Sistema de Numeración Binario Sistemas Numéricos 3. Sistema de Numeración Binario 1 0 1 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 Peso de la tercera posición = 4 Peso de la primera posición = 1 Peso de la segunda posición = 0 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

3. Sistema de Numeración Binario Sistemas Numéricos 3. Sistema de Numeración Binario ¿Y qué pasa con los números a la derecha del punto decimal? Los exponentes decrecen tomando valores negativos. Ej: 1 0 1 . 1 1 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 + 1 x 2-1 + 1 x 2-2 = 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 + 1 x ½ + 1 x ¼ 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

3. Sistema de Numeración Binario Sistemas Numéricos 3. Sistema de Numeración Binario ¿Cuántas cifras distintas se puede representar con un número de 3 bits (dígitos binarios)? Es posible representar 8 cifras distintas, que van desde cero hasta siete: 000 , 001 , 010 , 011 , 100 , 101 , 110 y 111. ...¿ y cuántas se puede representar con “n” bits? Se pueden representar 2n cifras distintas, que van desde cero hasta 2n - 1. 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

3. Sistema de Numeración Binario Sistemas Numéricos 3. Sistema de Numeración Binario Es posible que “con tanto sistema de numeración” una cifra sea confundida por otra. Por ejemplo: ¿el número 1100 a qué cantidad corresponde? La respuesta depende de qué sistema de numeración estemos usando. En binario representa doce unidades; en cambio, en decimal representa mil cien unidades. A fin de evitar confusiones resulta aconsejable indicar la base del sistema numérico al cual nos estamos refiriendo mediante un subíndice a la derecha de las cifras. 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

3. Sistema de Numeración Binario Sistemas Numéricos 3. Sistema de Numeración Binario Ejemplo: (1100)2 = (12)10 = UNA DOCENA (1100)10 = (10001001100)2 = MIL CIEN 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

4. Operaciones con Números Binarios Sistemas Numéricos 4. Operaciones con Números Binarios ¿Cómo se puede convertir un número decimal a uno binario? La forma más simple consiste en sumar los pesos del sistema binario hasta alcanzar el número decimal deseado. Ej: (13) 10 = (8 + 4 + 1) 10 = (1101) 2 (203) 10 = (128 + 64 + 8 + 2 + 1) 10 = (11001011) 2 Para ello se elige la potencia de dos que más se aproxime (sin sobrepasar) al número decimal y, a partir de ella, se comienza a sumar paulatinamente las potencias de dos que decrecen. 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

4. Operaciones con Números Binarios Sistemas Numéricos 4. Operaciones con Números Binarios Ejemplo (203) 10 = (128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1) 10 (203) 10 = (128 + 64 + 8 + 2 + 1) 10 (203) 10 = (27 + 26 + 23 + 21 + 20) 10 (203) 10 = (1 1 0 0 1 0 1 1) 2 Si al sumar una potencia se excede el valor buscado debemos descartar esa potencia y continuar con la siguiente menor. En este caso fue necesario descartar las potencias 32, 16 y 4 porque su suma superaba el número 203. 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

4. Operaciones con Números Binarios Sistemas Numéricos 4. Operaciones con Números Binarios Existe otra forma de transformar números decimales a binarios que se basa en dividir sucesivamente un número en dos y reconocer si el número resultante es par o no. La técnica consiste en dividir un número para obtener un cuociente entero y un “resto” (el cual sólo será 1 ó 0); el “resto” debe ser “acarreado” para formar el número binario que se desea encontrar. Con el cuociente entero se realiza una nueva división por dos y se repite el proceso de separar el resto. Este proceso se repite hasta que el cuociente sea 0. 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

4. Operaciones con Números Binarios Sistemas Numéricos 4. Operaciones con Números Binarios Ejemplo. (23)10 = Cuociente Resto 23 / 2 = 11 1 11 / 2 = 5 1 5 / 2 = 2 1 2 / 2 = 1 0 1 / 2 = 0 1 = (1 0 1 1 1) 2 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

110101 (binario) = 53 (decimal). Proceso: 1*(2) elevado a (0)=1 Binario a decimal Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente: Inicie por el lado derecho del número en binario, cada número multiplíquelo por 2 y elévelo a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0). Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal. Ejemplos: 110101 (binario) = 53 (decimal). Proceso: 1*(2) elevado a (0)=1 0*(2) elevado a (1)=0 1*(2) elevado a (2)=4 0*(2) elevado a (3)=0 1*(2) elevado a (4)=16 1*(2) elevado a (5)=32 La suma es: 53 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

EJERCICIOS Decimal a binario. Binario a decimal 23 45 89 180 234 110 10001 1110011 1101010111 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz

Solución Decimal a binario. Binario a decimal 23 00010111 45 00101101 23 00010111 45 00101101 89 01011001 180 10110100 234 11101010 Binario a decimal 110 6 10001 17 1110011 115 1101010111 855 11/9/2018 Prof. Pedro Quiroz