Introducción al Estado Sólido: Teoría de Sommerfeld de los metales Introducción al Estado Sólido. R. Baquero Introducción al Estado Sólido: Teoría de Sommerfeld de los metales R. Baquero Departamento de Física Cinvestav 08/11/2018 Teoría de sommerfeld

DEL PUNTO 5 AL 8 SERÁN EXPUESTOS POR SALVADOR (Ver al final) Introducción al Estado Sólido. R. Baquero TEMAS NUEVOS 1- LA DISTRIBUCIÓN DE FERMI-DIRAC. 2- ELECTRONES LIBRES (UNA FORMULACIÓN CUÁNTICA). 3- DENSIDAD DE VECTORES DE ONDA PERMITIDOS 4- Momento de Fermi, Energía de Fermi, Temperatura de Fermi. 5- La energía del Estado Base y el módulo de volumen 6- Propiedades térmicas de una gas de electrones libre 7- Teoría de conducción de Sommerfeld 8- La ley de Wiedermann-Franz DEL PUNTO 5 AL 8 SERÁN EXPUESTOS POR SALVADOR (Ver al final) 08/11/2018 Teoría de sommerfeld

1- LA DISTRIBUCIÓN DE FERMI-DIRAC. Introducción al Estado Sólido. R. Baquero 1- LA DISTRIBUCIÓN DE FERMI-DIRAC. ¿Cuál es la distribución de las velocidades de un gas de partículas libres a temperatura T? La Distribución de Maxwell-Boltzmann! Esta, en el modelo de Drude, da el número de electrones, fB(v) dv, por unidad de volumen, con velocidades entre v y v+dv: En el modelo de Drude, usando esta distribución se obtiene: La Ley de Wiedermann-Franz (no muy bien). Pero el calor específico da muy MAL 08/11/2018 Teoría de sommerfeld

Esta última condición determina la temperatura T0 Introducción al Estado Sólido. R. Baquero ¿Por qué no da el calor específico correctamente en el modelo de Drude? La razón es un efecto cuántico relativista que se manifiesta en el llamado Principio de Pauli cuya consecuencia es que no todos los electrones de conducción pueden ser excitados por cantidades pequeñas de energía. Sólo una fracción menor de ellos que se encuentran en estados de energía llamada “de Fermi” y forman en el espacio 3D de los momentos cristalinos una superficie muy especial e importante llamada “La Superficie de Fermi” El primer efecto que lo anterior tiene es que la función de distribución de Maxwell-Boltzmann no vale para describir los electrones de la banda de conducción. La distribución correcta es la de Fermi-Dirac con Esta última condición determina la temperatura T0 08/11/2018 Teoría de sommerfeld

Ejercicio: Usando como variable Introducción al Estado Sólido. R. Baquero Ejercicio: Usando como variable Mostrar que para valores muy grandes de la energía (x muy grande >> T0/T), la distribución de Fermi-Dirac tiene la misma dependencia exponencial que la de Maxwell-Boltzmann. 08/11/2018 Teoría de sommerfeld

A altas energías toma la forma de la de MB. Introducción al Estado Sólido. R. Baquero En esencia, el modelo de Sommerfeld, para muchas aplicaciones, no difiere del de Drude más que en el uso de la distribución de Fermi-Dirac en vez de la de Maxwell-Boltzmann. A altas energías toma la forma de la de MB. Distribución de Fermi-Dirac energía Como puede constatarse, la distribución de Fermi-Dirac difiere notoriamente de la de Maxwell-Boltzmann.. A temperatura ambiente, la distribución de F-D no difiere mucho de la de T=0K. Es decir que para un sistema metálico, la temperatura ambiente es baja temperatura. 08/11/2018 Teoría de sommerfeld ¿qué hemos visto?

2- ELECTRONES LIBRES (UNA FORMULACIÓN CUÁNTICA). Introducción al Estado Sólido. R. Baquero 2- ELECTRONES LIBRES (UNA FORMULACIÓN CUÁNTICA). EL ESTADO BASE DE UN GAS DE ELECTRONES LIBRES (T=0K) PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA: SEAN N ELECTRONES INDEPENDIENTES EN UN VOLUMEN V MODELO DE SOLUCIÓN: BUSCAREMOS LOS ESTADOS POSIBLE DE UN ELECTRÓN LIBRE EN EL VOLUMEN DADO Y LUEGO INTRODUCIREMOS LOS N ELECTRONES DENTRO DE ESE VOLUMEN OCUPANDO N ESTADOS DE ELECTRÓN LIBRE DE ACUERDO AL PRINCIPIO DE PAULI PRINCIPIO DE PAULI: EN CADA ESTADO SÓLO SE PERMITE UN SOLO ELECTRÓN. 08/11/2018 Teoría de sommerfeld

Solución de la Ecuación de Schrödinger para un electrón libre Introducción al Estado Sólido. R. Baquero Solución de la Ecuación de Schrödinger para un electrón libre Vamos a describir cada electrón por una función de onda y una función de espín (hay dos posibles), es decir, que la misma función de onda va a poder ser atribuida a dos electrones con espines diferentes. Dentro de un metal, los electrones de conducción que estamos describiendo como libres se encuentran confinados por acción de un potencial colectivo debido a los iones. El modelo que usaremos nosotros consiste en imponer una condición de frontera que impida la salida de los electrones del volumen dado. 08/11/2018 Teoría de sommerfeld

ondas estacionarias ondas viajeras Introducción al Estado Sólido. R. Baquero Escogemos un volumen V = L3, donde L es el lado de un cubo. ¿Cómo escoger las condiciones a la frontera? UN CUBO DE PAREDES IMPENETRABLES: LA FUNCIÓN DE ONDA ES CERO EN LAS PAREDES Y LOS ELECTRONES ESTRÁN SIEMPRE CONFINADOS AL VOLUMEN DEL CUBO. CONDICIONES PERIÓDICAS EN LAS PAREDES DEL CUBO. ESTE MODELO ES MÁS PROPICIO PARA DESCRIBIR PROPIEDADES DE TRANSPORTE. ondas estacionarias ondas viajeras 08/11/2018 Teoría de sommerfeld

Escogemos las condiciones periódicas de frontera (de Born-von Karman) Introducción al Estado Sólido. R. Baquero Escogemos las condiciones periódicas de frontera (de Born-von Karman) Sin tomar en cuenta las condiciones de frontera, la solución es: Ejercicio: Comprobar, reemplazando en la Ecuación de Schrödinger, que la función propuesta sí es solución y que está normalizada a 1 dentro del volumen V. 08/11/2018 Teoría de sommerfeld

Significado del vector k: Es fácil ver que el momento del electrón es Introducción al Estado Sólido. R. Baquero Significado del vector k: Es fácil ver que el momento del electrón es Podemos interpretar k también como un vector de onda y definir entonces una longitud de onda asociada al electrón en un estado particular etiquetado por k. Se le conoce como la longitud de onda de De Broglie. Longitud de onda de De Broglie Ejercicio: Aplicando el operador momento a la función de onda propuesta, demostrar que es una función propia de este operador con valor propio igual al momento propuesto arriba. 08/11/2018 Teoría de sommerfeld

Los electrones están “libres” dentro del espacio de la red Introducción al Estado Sólido. R. Baquero Las condiciones de frontera nos permiten establecer los valores permitidos para el vector k Cada valor de k, define un estado posible para un electrón en la banda de conducción de un metal a Ejemplo de un metal Los electrones están “libres” dentro del espacio de la red 08/11/2018 Teoría de sommerfeld

Lo cual nos lleva a la obvia conclusión: Las condiciones de frontera nos permiten establecer los valores permitidos para el vector k Introducción al Estado Sólido. R. Baquero Cada valor de k, define un estado posible para un electrón en la banda de conducción de un metal Lo cual nos lleva a la obvia conclusión: El espacio cartesiano tridimensional definido por kx, ky, kz se conoce como el Espacio-k 08/11/2018 Teoría de sommerfeld

Calcularemos entonces la densidad de valores permitidos de k Introducción al Estado Sólido. R. Baquero El hecho de que los valores permitidos de k sean discretos constituye la cuantización del problema. En este caso, el uso más frecuente e interesante de esta cuantización es encontrar el número de valores de k permitidos dentro de una porción del espacio-k cuyas dimensiones son enormes comparadas con : Que es el volumen del espacio k (espacio recíproco) necesario para albergar un estado del electrón. Calcularemos entonces la densidad de valores permitidos de k 08/11/2018 Teoría de sommerfeld ¿qué hemos visto?

3- DENSIDAD DE VECTORES DE ONDA PERMITIDOS Introducción al Estado Sólido. R. Baquero 3- DENSIDAD DE VECTORES DE ONDA PERMITIDOS De acuerdo a lo obtenido anteriormente, dentro de un cubo de lado 2π/L hay un solo valor permitido para k. Esto es fácil de ver: Imaginemos puntos discretos en un plano colocados a una distancia 2π/L en ambas direcciones. Obtenemos una red cuadrada, ¿verdad? Por lo tanto, el volumen en 3D del Espacio-k (espacio recíproco) necesario para albergar un valor permitido de k es: 08/11/2018 Teoría de sommerfeld

Estados k permitidos por unidad de volumen El volumen en 3D del Espacio Recíproco necesario para albergar un valor permitido de k es: Introducción al Estado Sólido. R. Baquero En una región del Espacio-k de volumen habrá Estados k permitidos Estados k permitidos por unidad de volumen Es decir, 08/11/2018 Teoría de sommerfeld

¿Cómo describir un sistema de muchos electrones? Introducción al Estado Sólido. R. Baquero ¿Cómo describir un sistema de muchos electrones? El Principio de Pauli es la clave. Vamos a poner dos electrones en cada estado k, uno con espín para arriba y otro con espín para abajo. Electrón con espín hacia arriba Estado k permitido Formamos el estado base de N electrones, ocupando uno a uno los estados disponibles llenando siempre los de menor energía primero (el estado base es el estado de mínima energía) hasta colocar los N. Para el caso del electrón libre, la energía es proporcional al cuadrado de k (no depende de la dirección). Cuando los estados son muchos (en un metal hay del orden de 1023 ) la superficie en el espacio-k que forman los estados de igual energía es prácticamente indistinguible de una esfera. 08/11/2018 Teoría de sommerfeld regresar

Momento de Fermi, Energía de Fermi, Temperatura de Fermi. Introducción al Estado Sólido. R. Baquero Momento de Fermi, Energía de Fermi, Temperatura de Fermi. Los estados que están sobre la superficie que separa los estados ocupados de los desocupados (porque ya acomodé los N electrones) tienen la misma energía (la Energía de Fermi), su vector de onda se denomina vector de Fermi (kF) y el conjunto de estados ocupados por debajo de la energía de Fermi (o nivel de Fermi) recibe el nombre de Mar de Fermi. La esfera de Fermi tiene un volumen igual a Y, el número de valores de k permitidos que contiene la esfera es, entonces Cada valor de k nos permite acomodar 2 electrones (por el espín). Para acomodar N electrones que se encuentran en un volumen V vamos a requerir; 08/11/2018 Teoría de sommerfeld

Y la energía de Fermi en eV Introducción al Estado Sólido. R. Baquero SI: (densidad) Ejercicio: Usar la relación para la densidad de un gas de electrones clásico (modelo de Drude) para obtener: (A = Amstroms) Ejercicio: Evaluar: Y la energía de Fermi en eV La temperatura de Fermi en °K Velocidad de Fermi 08/11/2018 Teoría de sommerfeld regresar

TODO CONTINUARÁ SEGÚN ESTÁ PLANEADO EN LA PÁGINA. Introducción al Estado Sólido. R. Baquero Espero los ejercicios por correo electrónico para el martes de la próxima semana vía internet. TODO CONTINUARÁ SEGÚN ESTÁ PLANEADO EN LA PÁGINA. EL VIERNES TOMAREMOS UN POQUITO DE TIEMPO (TENEMOS EXPOSICIÓN DE CARLOS Y DE ÁNGEL BLADIMIR) PARA DISCUTIR ESTA EXPERIENCIA. EL RESTO DE ESTE CAPÍTULO SERÁ EXPUESTO EL MIERCOLES DE LA SEMANA ENTRANTE (15 DE OCTUBRE) DE 9H30-11H00 POR JUAN SALVADOR EN UNA CLASE EXTRA. 08/11/2018 Teoría de sommerfeld