VARIABLE ALEATORIA TIPIFICADA Sea una variable aleatoria unidimensional X, con esperanza matemática E[x]= y desviación típica , llamamos variable aleatoria tipificada de X a una nueva variable aleatoria Z tal que: Z = X- 

Tipificar la variable aleatoria X: ventas de cierto producto en 1000 de € 1 si 0x1 f(x)= 0 en el resto Obtener la F. distribución y F. densidad de la nueva variable tipificada

P[ - k  < X<  + k  ]  1- 1 /k2 TEOREMA DE CHEBYSHEV Sea X una variable aleatoria con media  y varianza 2 finita. Para cualquier k>0 (positiva) se verifica: P[ X-   k  ]  1 /k2 complementario P[ X-  < k ]  1- 1 /k2 P[ - k  < X<  + k  ]  1- 1 /k2 Podemos expresar en términos de probabilidad la dispersión de los valores de la variable alrededor de su media utilizando la varianza como medida de dispersión y sin necesidad de conocer la distribución

El teorema de Chebyshev “solamente” nos facilita el límite inferior; P[ - k  < X<  + k  ]  1- 1 /k2 que la probabilidad de que una variable aleatoria dada X asuma un valor dentro de k desviaciones típicas de la media sea realmente mayor que 1-1/k2 aunque no podemos decir cuanto

P[ - 3 < X<  + 3 ]  1- 1 /32 TEOREMA DE CHEBYSHEV Si en la desigualdad de Chebyshev tomamos k=3 tendremos: P[ X-   3 ]  1 /32 supone que indica que la probabilidad de que una variable aleatoria difiera de su media en al menos tres veces su desviación típica será menor o igual que 1/9, para cualquiera que sea la distribución de probabilidad de la variable o en el caso complementario, por lo menos 8/9 del total de la masa de la distribución de probabilidad está comprendida en el intervalo (-3, +3) P[ - 3 < X<  + 3 ]  1- 1 /32

TEOREMA DE CHEBYSHEV Ejemplo: obtener cuál es la probabilidad máxima de que una variable aleatoria difiera de su media en al menos 2,3,4 y 5 veces la desviación típica Si k=2 P[ X-   2 ]  1 /22 Si k=3 P[ X-   3 ]  1 /32 Si k=4 P[ X-   4 ]  1 /42 Si k=5 P[ X-   5 ]  1 /52

cualquier >0 y suponiendo =k En general para cualquier >0 y suponiendo =k P[ - < X<  +  ]  1- 2/ 2

Compara estos valores con las probabilidades exactas de estos sucesos Sea una variable aleatoria X de tipo discreto, cuya distribución de probabilidad viene dada por: X P(X=x) 0.03 0.04 0.07 0.72 Obtener una cota superior de las probabilidades de los sucesos X-   k ] para k=2,3 y 4. Compara estos valores con las probabilidades exactas de estos sucesos

Si la densidad de probabilidad de X está dada por 630x4(1-x)4 para 0<x<1 0 resto encuentre la probabilidad de que asuma un valor dentro de dos desviaciones típicas de la media y compare esta probabilidad con el límite inferior proporcionado por el teorema de Chebyshev. f(x)= ¿Cuál es el valor más pequeño de k en el teorema de Chebyshev para el que la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor entre -k y +k sea: a) al menos 0.95 b) al menos 0.99

El número de periódicos vendidos diariamente en un quiosco es una variable aleatoria de media 200 y desviación típica 10. ¿cuántos ejemplares diarios debe encargar el quiosquero para tener seguridad de al menos un 99% de no quedarse sin existencias? El número de días al año que un maestro de un pequeño colegio está de baja por enfermedad es una variable aleatoria de la que únicamente se conoce su media , 10, y desviación típica, 2. Si cada uno de estos días supone a la consejería de educación unas pérdidas de 60 €, determinar los límites superior e inferior del total de pérdidas anuales que suponen las bajas de este trabajador con un grado de fiabilidad de al menos el 95%.