ERORRES

Cuando hacemos una medida, x, cometemos siempre un error,, que es la diferencia entre el valor exacto (que no conocemos) y el valor medido.

Las medidas directas son las que realizamos por comparación, utilizando para ello un aparato calibrado de acuerdo con la magnitud a medir y la unidad de medida utilizada. Las medidas indirectas se obtienen mediante expresiones algebraicas. Para ello sustituimos en la expresión que permite calcularlas los valores obtenidos por medida directa.

Errores sistemáticos: Tiene que ver con la mala utilización de los aparatos de medida o con su propia constitución. Errores de paralaje, en una mala interpretación de la escala o errores de calibrado. Este tipo de errores se puede reducir con una buena preparación o con un aparato bien calibrado.

Hay casos en los que el procedimiento de medida aumenta la incertidumbre y ésta no puede tomarse igual a la graduación de la escala. Por ejemplo, si se utiliza un cronómetro capaz de medir centésimas de segundo pero la precisión de la medida será el tiempo de reacción del experimentador, que es del orden de dos décimas de segundo.

procesoperturba pequeña Hay otros casos en los que el aparato de medida aumenta la incertidumbre debido a que el proceso de medición perturba el valor de la medida. Por ejemplo cuando queremos medir la temperatura de una pequeña cantidad de agua e introducimos un termómetro que está a temperatura ambiente. La temperatura que mide el termómetro no será la del agua sino la del equilibrio entre la que tiene ésta y la del aparato de medida.

no se pueden evitarreducen medida la media Errores accidentales: Son errores aleatorios, es decir, se cometen al azar. En estos errores entra la acción de la persona que realiza la medida. La imposibilidad de poner en marcha un cronómetro cuando empieza o termina el movimiento, una lectura errónea o una anotación incorrecta. Estos errores no se pueden evitar, pero se reducen midiendo varias veces y tomando como valor de la medida la media aritmética de las medidas. Ejemplo: Ejemplo: Supongamos que, al medir una masa con una balanza, se han obtenido los siguientes resultados (en g): 102,56, 102,61, 102,58, 102,60, 102,58. El valor medio de todos ellos es: 102,59g x m = 102, ,61+102,58+102, ,58 = 102,586 g=102,59g 5

El error absoluto es la diferencia entre el valor exacto (que no conocemos) y el valor medido Cuando hacemos una medida, x, cometemos siempre un error,, que es la diferencia entre el valor exacto (que no conocemos) y el valor medido. A esa diferencia la denominamos error absoluto (Ea), En general, el error absoluto es desconocido, aunque su valor puede controlarse. mínimo El error absoluto que afecta a una medida, es como mínimo igual a la sensibilidad del aparato aun en el caso de que el valor medio del mismo quede por debajo de ésta. 0,02g Así en el ejemplo anterior las dispersiones de cada medida son y por tanto la dispersión media de la medida es de 0,10/5 =0,02g m=102,59 0,02 g En este caso el resultado final se escribe como:

dispersión estadística Cuando se toman muchas medidas la incertidumbre que corresponde al valor medio se calcula a través de la dispersión estadística de los distintos valores respecto al valor medio: Ejemplo: Ejemplo: En un experimento se mide el tiempo que tarda un objeto en caer desde una cierta altura. Para ello, se utiliza un cronómetro cuya precisión es de 0.1 s. Las medidas tomadas son 3.1 s; 3.2 s; 3.4 s; 3.7 s; 3.5 s; 3.2 s; 3.2 s; 3.3 s; 3.7 s; 3.5 s y 3.4 s. Calcula la dispersión estadística y compárala con la precisión del aparato de medida. t m 3,4s t m = = 3,3818 =3,4s 11

t t = (0,3) 2 + (0.2) 2 (0.0) 2 +(0,3) 2 +(0.1) 2 +(0.2) 2 +(0.2) 2 +(0.1) 2 +(0,3) 2 +(0.1) 2 +(0.0) 2 = 11x10 t t = 0,06 s

Diez observadores miden la altura de una persona con una cinta métrica graduada en centímetros. Las medidas obtenidos expresadas en metros son: {1,81; 1,83; 1,83; 1,80; 1,82; 1,81; 1,83; 1,82; 1,81; 1,84}. Halla el valor más probable de la medida, su incertidumbre absoluta y su dispersión estadística. h h= (0,01) 2 +(0.01) 2 +(0.01) 2 +(0,02) 2 +(0.00) 2 +(0.01) 2 +(0.01) 2 +(0.00) 2 +(0,01) 2 +(0.02) 2 10x9 h m 1,82m h m = 1,81+ 1,83 +1,83 +1,80 + 1,82 + 1,81 + 1,83 + 1,82 + 1,81 + 1,84 =1,82m 10 h h = 0,04m

MedidaMasa(g)Valor medioError absoluto 1ª82,40,1 2ª82,20,1 3ª82,2 82,3 0,1 4ª82,40,1 5ª82,30,0 6ª82,20,1 El profesor de física pide a seis alumnos de la clase que midan la masa del borrador. Se obtienen los siguientes resultados: m=82,3 0,1 g

MedidaMasa(g)Valor medioError absoluto 1ª82,30,0 2ª82,30,0 3ª82,3 0,0 4ª82,30,0 5ª82,20,1 6ª82,30,0 El profesor de física pide a otros seis alumnos de la clase que midan la masa del borrador.. Se obtienen los siguientes resultados: m=82,3 0,1 g el error absoluto que afecta a una medida es como mínimo la sensibilidad del aparato

MedidaMasa(g)Valor medioError absoluto 1ª1282,40,1 2ª1282,20,1 3ª1282,2 1282,3 0,1 4ª1282,40,1 5ª1282,30,0 6ª1282,20,1 El profesor de física pide a seis alumnos de la clase que midan la masa del libro de lengua. Se obtienen los siguientes resultados: m=1282,3 0,1 g

Libro: m=1282,3 0,1 g Borrador: m=82,3 0,1 g ¿Son igual de buenas? Para ver la calidad de una medida hay que introducir el concepto de error relativo

Error relativo error relativo El error relativo es el cociente entre error absoluto y valor asignado a la medida. Generalmente, se expresa en forma de porcentaje; para ello, el cociente que se obtiene se multiplica por cien. Nos indica la calidad de la medida que estamos realizando. Un error relativo < 2% se considera una medida aceptable y uno<0,6% se considera una muy buena medida. Libro: m=1282,3 0,1 g E r =0,0078% Borrador: m=82,3 0,1 g E r =0,12% Luego no son igual de buenas No No es habitual un error relativo tan pequeño

Con un mismo cronómetro se han tomado medidas del tiempo empleado en una carrera de 100 m lisos, y se ha obtenido t = s, y del tiempo empleado en una carrera de 400 m lisos, y se ha obtenido t = s ¿Qué medida es de mayor calidad? Hemos tomado para la constante de Avogadro el valor · mol – 1 en vez de · mol – 1. ¿Qué error relativo hemos cometido? Con un mismo metro se han tomado medidas del largo y del ancho de la clase, dando como resultado 732cm y 408cm ¿Qué medida es de mayor calidad?

PRECISIÓN Y EXACTITUD

Grupo 1Grupo 2Grupo 3 20,9 g20,6g22,7g 19,3g20,4g22,7g 21,4g20,7g22,8g 20,6g21,0g22,7g 21,2g20,9g22,7g El profesor de física llega a clase con un paquete de pipas. El día anterior, en el laboratorio del centro, hizo unas medidas precisas de este paquete y determinó que la masa del mismo es M =20,7g 0.1 g. En el aula forma tres equipos de cinco alumnos y les deja una balanza para que determinen la masa de la bolsa de pipas. Se obtienen los siguientes resultados:

Grupo 1Grupo 2Grupo 3 20,9 g20,6g22,7g 19,3g20,4g22,7g 21,4g20,7g22,8g 20,6g21,0g22,7g 21,2g20,9g22,7g Valor medio20,7g 22,7g Rango2,1g!!0,6g0,1g ConclusiónExacto pero impreciso Exacto y preciso Inexacto pero muy preciso

Grupo 1Grupo 2Grupo 3 Conclusión como equipo de trabajo Este grupo no tiene interés por lo que está haciendo. Su exactitud se debe a la pura casualidad y, en general, sus resultados serán malos Este grupo muestra mayor interés por lo que está haciendo. Son observadores mediocres pero que se empeñan en medir bien. Este grupo son buenos observadores y además muy meticulosos. Han cometido el error de no fijarse que la balanza no estaba a cero pero ponen mucho empeño en lo que hacen y, en general, sus resultados serán los mejores

El profesor de física llega a clase con el borrador. El día anterior, en el laboratorio del centro, hizo unas medidas precisas de éste y determinó que la masa del mismo es M =120,4g 0.1 g. En el aula forma tres equipos de cinco alumnos y les deja una balanza para que determinen la masa del mismo. Se obtienen los siguientes resultados: Grupo 1Grupo 2Grupo 3 120,6g120,4g120,7g 120,4g 120,2g 120,4g121,2g 120,3g 120,8g 120,4g 120,7g

Grupo 1Grupo 2Grupo 3 120,6g120,4g120,7g 120,4g 120,2g 120,4g121,2g 120,3g 120,8g 120,4g 120,7g Valor medio120,4g 120,7g Rango0,4g0,1g1g Conclusión

El profesor de física llega a clase con el borrador. El día anterior, en el laboratorio del centro, hizo unas medidas precisas de éste y determinó que la masa del mismo es M =120,4g 0.1 g. En el aula forma tres equipos de cinco alumnos y les deja una balanza para que determinen la masa del mismo. Se obtienen los siguientes resultados: Grupo 1Grupo 2Grupo 3 120,6g120,4g120,7g 120,4g 120,2g 120,4g123,2g 120,3g 120,8g 120,4g 120,7g claramente Sí alguna medida es claramente discrepante se desprecia y no se tiene en cuenta

Grupo 1Grupo 2Grupo 3 120,6g120,4g120,7g 120,4g 120,2g 120,4g 120,3g 120,8g 120,4g 120,7g Entonces en este grupo se hace la media sobre cuatro medidas

Se ha medido un tramo de carretera con un cinta graduada en metros y se ha obtenido un valor de 115 m. También se ha medido la anchura de un libro con un regla graduada en milímetros, obteniéndose un valor de 15,4 cm. Compara las incertidumbres relativas de ambas medidas.

*Dos observadores han medido el valor de una resistencia eléctrica, de la que se sabe que su valor real es 12,5 Ω. Cada observador repite su medición cinco veces. Obtienen los siguientes resultados: Medidas Observador 1º Observador 2º 1ª 11,2 Ω 10,2 Ω 2ª 11,1 Ω 14,6 Ω 3ª 11,3 Ω 11,0 Ω 4ª 11,3 Ω 13,3 Ω 5ª 11,5 Ω 12,6 Ω Valora la precisión y la exactitud de las mediciones de cada observador.

Dos observadores han medido el valor de una resistencia eléctrica, de la que se sabe que su valor real es 11,2 Ω Cada observador repite su medición cinco veces. Obtienen los siguientes resultados: Medidas Observador 1º Observador 2º 1ª 11,2 Ω 11,4 Ω 2ª 11,1 Ω 15,6 Ω 3ª 11,2 Ω 11,0 Ω 4ª 11,2 Ω 11,3 Ω 5ª 11,2 Ω 11,5 Ω Valora la precisión y la exactitud de las mediciones de cada observador.

*Se sabe que la longitud de un a objeto es 7,64 mm. Cuando se mide esta longitud con una regla se obtienen los siguientes valores: 7,63; 7,64; 7,64; 7,63; 7,65. Juzga la precisión y la exactitud del instrumento. *Se sabe que la diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito es 12,6 V. Cuando se mide esta diferencia de potencial con un voltímetro se obtienen los siguientes valores: 11,2; 11,3; 11,2; 11,3; 11,3. Juzga la precisión y la exactitud del voltímetro.

*Se ha medido un tramo de carretera con un cinta graduada en metros y se ha obtenido un valor de 115 m. También se ha medido la anchura de un libro con un regla graduada en milímetros, obteniéndose un valor de 15,4 cm. Compara las incertidumbres relativas de ambas medidas. *Doce observadores miden la altura de un edificio con una cinta métrica graduada en metros. Las medidas obtenidos expresadas en metros son: {81; 82; 81; 80; 82; 81; 83; 82; 81; 84; 83;82}. Halla el valor más probable de la medida, su incertidumbre absoluta, su dispersión estadística y su incertidumbre relativa.

DETERMINACIÓN DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS

Deducción del cálculo de la incertidumbre para magnitudes derivadas: Producto de magnitudes: Despreciable Potencia de una magnitud: En general:

Cociente de magnitudes: En este caso la demostración es mucho más compleja pero podemos utilizar la del producto de dos magnitudes. mcm=y 2 Incertidumbre en una potencia Nos olvidamos del signo negativo y lo tomamos positivo porque los errores nunca se restan, son siempre aditivos.

Para medir la superficie de un folio se miden sus lados dando como resultado x = cm e y = cm. ¿Cuál es la superficie del folio? ¿Cuál es el error?

Para medir la superficie de una loseta cuadrada se mide uno de sus lados dando como resultado x = cm. ¿Cuál es la superficie de la loseta? ¿Cuál es el error?

Calcula la superficie de un DVD cuyo diámetro mide cm.

Para medir el volumen de un recipiente cúbico se mide varias veces su arista dando los siguientes resultados l = cm, cm, cm, cm, cm. ¿Cuál es el volumen del cubo? ¿Cuál es el error que le afecta?

Para medir el volumen de una esfera se mide su diámetro dando como resultado d = cm. ¿Cuál es el volumen de la esfera ? ¿Cuál es el error?

Para medir la densidad de un líquido se ha utilizado un recipiente cuyo volumen se ha calibrado: V = cm 3. Se ha pesado el líquido que llenaba el recipiente, obteniéndose el valor de g. ¿Cuál es la densidad del líquido? ¿Cuál es el error?

Para medir la densidad de un líquido se ha utilizado un recipiente cúbico cuyos lados miden l = cm. Se ha pesado el líquido que llenaba el recipiente, obteniéndose el valor de g. ¿Cuál es la densidad del líquido? ¿Cuál es el error?

Para medir el volumen de un cilindro se mide el radio de la base dando como resultado r = cm y su altura h = cm.¿Cuál es el área de la base? ¿Cuál es el volumen? ¿Cuál es el error que afecta a ambas medidas?

Para medir el área total de un cilindro se mide el radio de la base dando como resultado r = cm y su altura h = cm.¿Cuál es el área total?¿Cuál es el error que afecta al área total?

Un prisma, cuyas dimensiones, medidas en mm, son 30 x 50 x 80, tiene una masa de (542,12 ± 0,02) g. Calcula: a) El volumen del prisma con su imprecisión absoluta. b) La imprecisión relativa que corresponde a la medida del volumen. c) La densidad del prisma. d) La imprecisión absoluta que corresponde a la densidad. e) La imprecisión relativa con que estamos midiendo la densidad del prisma.

Grupo 1Grupo 2 2,8 s 2,7 s 2,8 s 2,5 s 2,7 s 2,4 s 2,7 s 2,4 s 2,7 s El profesor de física lleva a la clase de excursión al parque nacional del Teide. Una vez arriba plantea a los chicos calcular la gravedad en esa zona. Para esto va a dejar caer una piedra por un acantilado; determinó que la altura del mismo es h =34,6m 0.2m (usó una cuerda que lleva marcas cada 20cm a la que ató una piedra). Forma dos equipos de cinco alumnos y les deja diez cronómetros para que determinen el tiempo que está cayendo la piedra. Se obtienen los siguientes resultados: ¿Cuál de los dos equipos trabaja mejor?¿Qué resultado elegirás como buena medida para el tiempo?¿Cuánto vale la gravedad en ese punto?¿Qué error le afecta? h = ½ gt 2