Problema de la ruta mínima

El problema de la ruta más corta es uno de los problemas más importantes de optimización combinatoria con muchas aplicaciones, tanto directas como subrutinas en otros algoritmos de optimización combinatoria. Los algoritmos para este tipo de problemas han sido estudiados desde la década de los 50’s y continúan siendo un área activa de investigación.

Encontrar la ruta más corta entre dos nodos de una red, en la cual cada arco tiene un costo (o longitud) no negativo es un problema que a menudo se presenta en cierto tipo de actividades. El objetivo es minimizar el costo (tiempo o longitud) total.

IMPORTANCIA DEL PROBLEMA El problema de la Ruta más Corta es fundamental en muchas áreas, como son: Investigación de operaciones, ciencia de la computación e ingeniería. Algunas de las razones son:

La amplia variedad de aplicaciones prácticas como es el envío de algún material entre dos puntos específicos de la forma más eficiente, económica o rápida. Existen métodos de solución eficientes, los cuales al ser aplicados a una red con características específicas ( acíclica y con costos no negativos), proveen una solución exacta a un tiempo y costo razonables.

APLICACIONES El problema de ruta más corta tiene muchas aplicaciones prácticas, algunas son: encontrar la ruta más corta o más rápida entre dos puntos en un mapa, redes eléctricas, telecomunicaciones, transporte, planeación de tráfico urbano, trasbordo, diseño de rutas de vehículos, planeación de inventarios, administración de proyectos, planeación de producción, horarios de operadores telefónicos, diseño de movimiento en robótica, redes de colaboración entre científicos, reemplazo de equipo, etc.

Algoritmo Dijkstra de etiquetas, ruta mínima en red orientada o no orientada. El algoritmo de Dijkstra para ruta mínima utiliza la etiqueta general: ( # Identificación del nodo precedente, acumulación del costo) que se coloca en cada uno de los nodos de la red, ya sea con carácter permanente P o bien temporal t. Los pasos del algoritmo son los siguientes: El nodo origen siempre se etiqueta con: ( -, 0 ) P A partir del último nodo con etiqueta permanente, se etiquetan temporalmente ( t ) todos los nodos sin etiqueta permanente, conectados directamente al mismo. Se inicia la revisión de las etiquetas temporales (t), en los nodos que tengan dos etiquetas eliminando la de costo mayor, a continuación se comparan las temporales que aún quedan, con el criterio de costo menor se elige una para permanencia. En caso de empate se hacen permanentes las que estén en esa condición. Se repite el procedimiento desde el paso 2, mientras existan nodos t para hacerlos P y se termina ordenando en tabla, las n-1 rutas mínimas encontradas.

Definimos Dіј ≥ 0 como la longitud de arco entre los nodos і, ј. Sea Uі la distancia mas corta desde el nodo origen 1 hasta el nodo origen і Definimos Dіј ≥ 0 como la longitud de arco entre los nodos і, ј. Entonces los nodos serán etiquetados: [Uі + Dіј, і] Distancia hasta el nodo ј desde el nodo origen. Nodo inmediato anterior al ј.

Ejemplo La siguiente red muestra las longitudes en km entre diferentes ciudades representadas por los nodos. Encontrar la distancia mas corta desde el nodo 1 al resto de las ciudades. 2 15 4 100 50 1 10 5 30 3 60

[15+ 40 = 55, 4] [0 + 100, 1] [30 + 10 = 40, 3] 2 15 4 100 50 1 10 5 [0 + -] 30 3 60 [30 + 60=90, 3] [40 + 50 = 90, 4] [0 + 30, 1]

2 15 4 100 50 1 10 5 30 3 60 1,3,4,2 = 55 km

N Nodos resueltos, conectados directamente a los no resueltos Nodos no resueltos, mas cercanos conectados. Distancia total involucrada Nodo mas cercano Distancia mínima Ultima conexión 1 2 100 1,2 3 30 1,3 4 30+10=40 40 3,4 5 30+60=90 90 3,5 40+15=55 55 4,2 40+50=90 4,5 Ruta mínima 1,3,4,2 = 55 km