Universidad Católica del Norte Facultad de Ingeniería y Ciencias Geológicas Escuela de Ingeniería Clase 5 Ingeniería Económica Prof. José Antonio Castillo M s BA, Simon School of Business - University Of Rochester, New York, USA. MBA Global Universidad de Chile Coquimbo, Septiembre de 2018

Para encontrar Dado Fórmula a aplicar F P P F F A P A A F A P Recapitulando

Anualidades Diferidas El flujo de efectivo no comienza sino hasta alguna fecha posterior al primer periodo. Si la anualidad se difiere j periodos (j<n), la anualidad ordinaria dentro del marco de la figura, se desplaza hacia adelante del tiempo 0, por j periodos. En este caso, para conocer P en el tiempo 0, se debe calcular la anualidad ordinaria al tiempo j, y luego llevar esa valor al tiempo j-1jj+1j+2j+3n-1n

Suponga que un padre de familia desea determinar que cantidad única tendría que depositar el día que naciera su hijo, en una cuenta que gana 12% anual, para que su hijo disponga de en cada uno de sus cumpleaños número 18, 19, 20, 21. Ejemplo

Respuesta P 17 = 6.074,70 Años i=12% al año P 0 =? P 17 =F 17

Ejemplo Encuentre: a)El valor presente equivalente del gasto (P) b)El valor futuro equivalente (F) c)El gasto anual equivalente (A) Añosi=20% anual

Formulas de Interés – Ejemplo - Solución

Gradiente Uniforme Ingresos o egresos que se proyectan para que aumenten o disminuyan en una cantidad uniforme en cada periodo, de manera que constituyan una serie aritmética. (n-1)G (n-2)G i=tasa interés por periodo (n-3)G 3G 2G G 01234n-2n-1n

Estos factores se aplican solo si no existe flujo de efectivo al final del periodo 1. Puede haber un flujo en el periodo 1, pero este debe tratarse de manera independiente. Estos factores se utilizan sólo si el valor de n es muy grande. Factores de conversión

P 0 i=15% P 0 = P 0A + P 0G P 0A P 0G Suponga que se tiene el siguiente flujo de efectivo: P 0A se resuelve como una anualidad uniforme. P 0G se resuelve como un gradiente uniforme. Note que se cumple que el primer flujo de efectivo ocurre al final del 2º periodo. Ejemplo

P 0 i=15% P 0 = P 0A + P 0G P 0A P 0G Poa = 1.427,5 Ejemplo P 0G = 378,6 Po = 1.806,13

Secuencia Aritmética - Gradiente - Ejemplo Encuentre: a)El valor presente equivalente del gasto (P) con i=15% Añosi=15% anual P 0T P= $ ,39

Secuencia Aritmética - Gradiente - Ejemplo

Algunos problemas de equivalencia económica implican patrones proyectados de flujos de efectivo que cambian a una tasa promedio en cada periodo. La situación típica de esto es la de un artículo cuyo precio aumenta a una tasa constante cada año. El patrón resultante de flujo de efectivo al final de periodo se conoce como serie de forma de gradiente geométrico y tiene la siguiente forma:

Secuencia Geométrica

Secuencia Geométrica - ejemplo

Tasas de interés variables Ejemplo: Juanito realizó un convenio para que le prestaran ahora y otros dos años más tarde. Toda la obligación debe pagarse al final de los cuatro años. Si las tasas de interés en los años 1, 2, 3 y 4 son del 10%, 12%, 12% y 14%, respectivamente. ¿cuál es la cantidad que pagará al final de los cuatro años? F 10% 12% 12% 14% F= 2.849,82

Tasas de interés Tasa de Interés efectiva Tasa de Interés Nominal

Hasta ahora, hemos considerado que el interés compuesto ocurre 1 vez al año. En la práctica, la acumulación de interés puede ocurrir con mayor frecuencia. Por ejemplo, puede plantearse una tasa de interés del 12% de interés compuesto trimestral, en este caso, se entiende que el 12% es una tasa anual y se denomina la tasa de interés nominal. La tasa real (o efectiva) anual no es el 12%, es mayor, porque la capitalización ocurre 4 veces durante el año (en un año, hay 4 trimestres de interéscompuesto. ). Por lo tanto, la tasa de interés por periodo de interés es de 12%/4=3% por trimestre. La tasa de interés efectiva es la tasa anual exacta que toma en cuenta los intereses compuestos que ocurren en el año. En donde: M=número de periodos de interés por año r =tasa de interés nominal Tasas de interés nominal y efectiva

Tasa efectiva= 12,55% Las tasas nominales no mencionan la frecuencia de la composición. Todas tienen la forma: “ r % por periodo de tiempo t ” “12% anual compuesto mensualmente” Observe esta expresión en forma separada: 12% anual es la tasa nominal “compuesto mensualmente” señala la frecuencia de composición a lo largo del año. Para este ejemplo: la composición es de 12 periodos dentro de un año. Tasas de interés nominal y efectiva

Considere $1.000 que se va a invertir por 3 años a una tasa nominal de 12%, capitalizable cada 6 meses. Los intereses generados durante los 1eros seis meses serían $1.000 × (0.12/2) = $60 El principal y los intereses al comienzo del segundo periodo de seis meses es de P + P*i = = Los intereses que se generan durante el segundo lapso de 6 meses son * (0,12/2) = 63,6 Entonces, el interés total que se genera durante el año es de ,6 = 123,6 Por último, la tasa de interés efectiva anual para todo el año es de (123,6/1.000)*100 = 12,36% Tasas de interés nominal y efectiva

Para un capital de $1.000 un banco nos ofrece dos opciones de inversión a plazo fijo: –Opción 1: 12% anual, capitalizable semestralmente –Opción 2: 11,768% anual, capitalizable bimestralmente ¿Cuál es la opción más conveniente, para una colocación a 1 año de plazo? Opción 1: $1.000 (1+0,12/2) 2 = $1.123,60 Opción 2: $1.000 (1+0,11768/6) 6 = $1.123,60 Ejemplo

Tasas efectivas de interés para varias tasas nominales y frecuencias de capitalización Frecuencia de capitalización Nº de períodos de capitalización por año, M Tasa efectiva (%) para tasas nominales de 6%8%10%12%15%24% Anual16,008,0010,0012,0015,0024,00 Semestral26,098,1610,2512,3615,5625,44 Trimestral46,148,2410,3812,5515,8726,25 Bimestral66,158,2710,4312,6215,9726,53 Mensual126,178,3010,4712,6816,0826,82 Diaria3656,188,3310,5212,7516,1827,11 La tasa efectiva es aquella a la que efectivamente está colocado el capital. La capitalización del interés en determinado número de veces por año, da lugar a una tasa efectiva mayor que la nominal, Por definición de la palabra nominal «pretendida, llamada, ostensible o profesada» diríamos que la tasa de interés nominal no es una tasa correcta, real o efectiva. La tasa de interés nominal ignora el valor del dinero en el tiempo y la frecuencia con la cual capitaliza el interés Tasas de interés nominal y efectiva

Diversas tasas de interés y sus interpretaciones Tasas de interésInterpretaciónComentario i=12% anual i=1% mensual i=3,5% trimestral i=12% efectivo anual, compuesto anualmente i=1% efectivo mensual, compuesto mensualmente i=3,5% efectivo trimestral, compuesto trimestralmente Cuando no se especifica un periodo de capitalización, la tasa de interés es una tasa EFECTIVA, suponiendo que el periodo de capitalización es igual al periodo de tiempo especificado. i=8% anual, compuesto mensualmente i=4% trimestral, compuesto mensualmente i=14% anual, compuesto semestralmente i=8% nominal anual, compuesto mensualmente i=4% nominal trimestral, compuesto mensualmente i=14% nominal anual, compuesto semestralmente Cuando se especifica el periodo de capitalización sin determinar si la tasa de interés es nominal o efectiva, se supone que ésta es NOMINAL. El período de capitalización es como el expresado. i=10% efectivo anual, compuesto mensualmente i=6% efectivo trimestral i=1% efectivo mensual, compuesto diariamente i=10% efectivo anual, compuesto mensualmente i=6% efectivo trimestral, compuesto trimestralmente i=1% efectivo mensual, compuesto diariamente Si la tasa de interés se expresa como una tasa efectiva, entonces es una tasa efectiva. Si el periodo de capitalización no está dado, se supone que este periodo de capitalización coincide con el periodo establecido. Tasas de interés - interpretaciones

Así por ejemplo: Una tasa de interés de 2,5% mensual, también la expresamos como un 7,5% nominal por trimestre (2,5% mensual por 3 meses); 15% por período semestral, 30% anual o 60% por 2 años. La tasa de interés nominal ignora el valor del dinero en el tiempo y la frecuencia con la cual capitaliza el interés Es importante distinguir entre el período de capitalización (PC) y el período de pago (PP) porque en muchos casos los dos no coinciden. Por ejemplo: Si una persona coloca dinero mensualmente en una libreta de ahorros con el 18% de interés compuesto semestralmente, tendríamos: Período de pago (PP) : 1 mes Período de capitalización (PC) : 6 meses Análogamente, si alguien deposita dinero cada año en una libreta de ahorros que capitaliza el interés trimestralmente, tendríamos: Período de pago (PP) : 1 año Período de capitalización (PC) : 3 meses Tasas de interés nominal y efectiva

Determinar los intereses devengados por un capital de , durante 5 meses, al 15% de interés anual. Como la tasa de interés está en base anual, el tiempo lo expresamos también en base anual: 5/12 = 0,4166 Igualmente, podríamos expresar la tasa de interés en base mensual, dividiendo simplemente: 0,15/12 = 0,0125 con n = 5. Solución: VA = ; n = 0,4166; i = 0,15; I =? a.1.) Interés simple I = x 0,15 x 0,4166 = 1.875,15 a.2.) Interés compuesto: =1.799,04 Periodo de Capitalización y Pago

Ejemplo: Considere que el periodo de pago es semestral y que se tienen 3 propuestas de tasas de interés nominal: Propuesta 1: 9% anual, compuesto trimestralmente. Propuesta 2: 3% trimestral, compuesto trimestralmente. Propuesta 3: 8,8% anual, compuesto mensualmente. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva por PP para cada propuesta? Periodo de Capitalización y Pago

Solución: Propuesta 1: 9% anual, compuesto trimestralmente. PC-4 Pago PC-1PC-2 Pago PC-3 Periodo de Pago 1Periodo de Pago 2 Para PP = 6 meses se tiene: a)r = 9% anual = 9% / 2 = 4,5% durante 6 meses b)m = 2 trimestres durante 6 meses c) i efectiva durante 6 meses = (1 + 0,045/2 ) 2 – 1 = 0,0455 i efectiva durante 6 meses = 4,55%

Periodo de Capitalización y Pago Propuesta 2: 3% trimestral, compuesto trimestralmente. a)r = 3% trimestral = 3% * 2 = 6% durante 6 meses b)m = 2 trimestres durante 6 meses c) i efectiva durante 6 meses = (1 + 0,06/2 ) 2 – 1 = 0,0609 i efectiva durante 6 meses = 6,09% Propuesta 3: 8,8% anual, compuesto mensualmente. a)r = 8,8% anual = 8,8% / 2 = 4,4% durante 6 meses b)m = 6 meses durante 6 meses c) i efectiva durante 6 meses = (1 + 0,044/6 ) 6 – 1 =0,0448 i efectiva durante 6 meses = 4,48%

Periodo de Capitalización y Pago ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual para cada propuesta? Para PP = 1 año, se tiene Propuesta 1: 9% anual, compuesto trimestralmente. i a = (1 + 0,09/4 ) 4 – 1 = 0,0931 => 9,31% Propuesta 2: 3% trimestral, compuesto trimestralmente. i a = (1 + 0,12/4 ) 4 – 1 = 0,1255 => 12,55% Propuesta 3: 8,8% anual, compuesto mensualmente. i a = (1 + 0,088/12 ) 12 – 1 = 0,0916 => 9,16%

La equivalencia entre tasas de interés efectivas que se aplican a distintos periodos es la siguiente: Donde los subíndices: A= Anual. S= Semestral. T= Trimestral. B= Bimestral. M= Mensual. D= Diaria. Ejemplo: Hallar la tasa de interés efectiva anual equivalente al: 1.3% mensual 2.18% semestral 3.9% trimestral. Equivalencia entre tasas de interés efectivas

Solución: 1.3% mensual Donde los subíndices: A= Anual. M= Mensual. 2.18% semestral 3.9% trimestral Equivalencia entre tasas de interés efectivas

Periodo de Capitalización y Pago Determinar el valor presente P, del diagrama de flujo de efectivo siguiente: Fin de trimestre La tasa nominal de interés es del 15% capitalizable mensualmente. Los flujos de efectivo ocurren cada tres meses (una vez por trimestre) De nominal a efectiva anual De efectiva anual a efectiva trimestral

Periodo de Capitalización y Pago Ejemplo Suponga que Ud. Planea adquirir un automóvil y obtiene un préstamo de $ al 9% anual, compuesto mensualmente durante 4 años. Determine el pago mensual. Solución: Se busca una serie mensual A; los valores PP y PC son de 1 mes, entonces para calcular A se debe utilizar la tasa de interés efectiva mensual. Si r = 9% anual compuesto mensualmente, entonces: M = 12 e i efectiva mensual = r/m = 0,09/12 = 0,75% mensual

Periodo de Capitalización y Pago El número total de periodos de pagos mensuales es: n = 4x(12) =48 Luego, el pago mensual A es: A = $ (A/P;0,75%;48) A = $ (0,02489) A = $ Comentario: Es incorrecto usar la tasa anual efectiva de i = 9,381% y n = 4 años para calcular el valor de A. “El periodo de pago PP, la tasa de interés efectiva i y el número de pagos n deben expresarse sobre la misma base de tiempo” (para este caso es de 1 mes).

Periodo de Capitalización y Pago

Capitalizaciones continuas Si observamos la fórmula de conversión de tasa nominal a tasa efectiva, y aumentamos el número de capitalizaciones (m), tanto que tienda a infinito, podemos demostrar lo siguiente: Con lo que la fórmula pasa a tener la siguiente forma: i= tasa de interés efectiva continua r= tasa de interés nominal compuesta continuamente Por lo tanto, en todas las formulas de V, P, A se debe reemplazar i por (e r -1).

Capitalizaciones continuas

Ejemplo: Calcule las tasas de interés anual y efectiva mensual, para una tasa de interés del 18% anual con composición continua. Solución: La tasa nominal mensual es: r= 18%/12=1,5% Utilizando la ecuación anterior, la tasa mensual efectiva es: i% mensual = e r -1 = e 1,5% -1=1,51% Del mismo modo, la tasa anual efectiva, utilizando r=18% anual es: i% anual=e r -1=e 18% -1=19,72% Capitalizaciones continuas

Una persona necesita de inmediato para pagar la reserva de una casa. Suponga que puede obtener este dinero en préstamo de su compañía de seguros. Debe reponer el préstamo en pagos iguales cada 6 meses durante los próximos 8 años. La tasa nominal de interés que se está aplicando es del 7% capitalizado en forma continua. ¿Cuál es el monto de cada pago? La tasa nominal de interés por seis meses es de 3.5%. i=e 3,5% -1=3,56% En total el periodo es de 16 semestres. Reemplazando el interés continuo en la formula de anualidad… A= 996,69 Capitalizaciones continuas

Un inversionista necesita un rendimiento efectivo de, por lo menos, el 15%. ¿Cuál es la tasa nominal anual mínima aceptable para la composición continua? Solución Una tasa efectiva anual de 15% es equivalente a 0,15=e r -1 Aplicando logaritmo natural a esta expresión se obtiene: 1,15=e r Ln e r =Ln 1,15 r= Ln (1,15) = 13,976% Por lo tanto, para calcular la tasa “r” aplicar: r=Ln(1+i) Capitalizaciones continuas

Las ingenieras Claudia y Carolina invierten $5.000 durante 10 años al 10% anual. Calcule el valor futuro para ambas, si Claudia recibe intereses anuales compuestos y Carolina intereses continuos. Capitalizaciones continuas Solución Claudia: El valor futuro para un periodo de composición anual es: VF=5.000(1+10%) 10 = Carolina: EL valor futuro para un periodo de composición continua es: i=e 10% -1= 10,517% VF=5.000(1+10,517%) 10 =13.591

Cuadro de Amortización Para conocer la situación de la deuda en cualquier momento, es conveniente preparar un CUADRO DE AMORTIZACIÓN de la misma, en el que figuren la cuota (capital + interés), el total amortizado y la deuda pendiente. Sea: P: Principal (Monto del crédito) i:tasa efectiva n=número de períodos Pago n° Fecha PagoBalance Inicial Cuota (1) Capital (3) Interés (2) Balance Final (4) P1P1 AC 1 =A-I 1 I 1 =P 1 x iP 1 -C P 2 =P 1 -C 1 AC 2 =A-I 2 I 2 =P 2 x iP 2 -C 2 ………………… n-1xx-xx-xxP n-1 =P n-2 -C n-2 AC n-1 =A-I n-1 I n-1 =P n-1 x iP n-1 -C n-1 nxx-xx-xxP n =P n-1 -C n-1 AC n =A-I n I n =P n x i0

Tasas de Interés - Medición de plazos Convenciones de plazos – ACT/360 – ACT/365 – ACT/ACT – 30/360 – Etc. La tasa de interés no es un concepto único. Depende de: Convenciones medición del tiempo: – Base 360, Base 365 – días calendarios, días hábiles, años bisiestos, etc. Composición de intereses – lineal (simple) – anual – semestral – mensual – diario – continuo

Tasas de Interés - Medición de plazos Codificación SVS | Cálculo de Intereses TipoDescripción ISMA 30/360 Interés simple en base 360 días, calculo meses 30 días. TIC360 Interés compuesto, en base 360 días, utiliza método EEUU días 360 para cálculo de la diferencia de días. TIC360-0 Interés compuesto, en base a 360 días, utiliza días exactos para cálculos de diferencia de días. TIC360E Interés compuesto, en base a 360 días, utiliza método europeo días 360 para cálculos de diferencia de días. TIC365 Interés compuesto, en base a 365 días, utiliza días exactos para cálculos de diferencia de días. TIS30 Interés simple, en base a 30 días, utiliza días exactos para cálculos de diferencia de días. TIS360-0 Interés simple, en base a 360 días, utiliza días exactos para cálculos de diferencia de días. TIS365 Interés simple, en base a 365 días, utiliza días exactos para cálculos de diferencia de días. Códigos Cálculo de Intereses

Anualidades

Principal N°36 Cuota Información Tasa mensual 2,95% Función =TASA(n,cuota,principal) Tasa Anual Efectiva = ? Tasa Anual Efectiva = 41,7% CAE = 35,8% distinto a Anual efectiva 41,7% ???

Como se calcula CALCULO DEL COSTO ANUAL EQUIVALENTE (CAE) MONTO DEL CREDITO CUOTA MENSUAL NUMERO DE CUOTAS (MESES)36 COSTO TOTAL DEL CREDITO COSTOS DEL CREDITO % COSTOS DEL CREDITO63,66% COSTO MENSUAL EQUIVALENTE (CME)2,95% COSTO ANUAL EQUIVALENTE (CAE)35,40% creditos-de-consumo-sernac.pdf

Aplicaciones de las relaciones dinero- tiempo

Introducción  Todos los estudios de Ingeniería Económica de los proyectos de capital deben tomar en cuenta el rendimiento que un proyecto determinado producirá, o deberá producir.  Debemos preguntarnos si la propuesta de una inversión de capital y los gastos asociados con ella pueden recuperarse por medio de ingresos (o ahorros) a lo largo del tiempo además del rendimiento sobre el capital, que tendrán que ser suficientemente atractivos, en comparación con los riesgos que se corren y los usos potenciales alternativos.

Introducción  Ya que los patrones de inversión de capital, de los flujos de efectivo de los ingresos y gastos son diferentes para cada caso, no existe un método único para el análisis de ingeniería económica.  Veremos 5 métodos para evaluar la rentabilidad económica de una sola alternativa:  Método de valor presente (VP o VAN)  Método de valor futuro (VF)  Método de valor anual (VA)  Tasa interna de retorno (TIR)  Tasa externa de retorno (TER)  Los primeros 3 métodos convierten los flujos a un instante de tiempo usando una tasa, la tasa de descuento.  Los dos últimos métodos calculan una tasa a partir de la inversión inicial y los flujos futuros.

Tasa de descuento  O también llamada “tasa de rendimiento mínima aceptable” (TREMA), es una política que establece la alta gerencia de la empresa, como resultado de numerosas consideraciones: 1. Cantidad de dinero disponible para invertir, ya sean propios, prestados, o una combinación de ambos. 2. Número de proyectos en carpeta, ya sean de expansión (electivo) o de reemplazo(esenciales). 3. Riesgo asociado al proyecto. 4. Tipo de organización, ya sea gobierno o sector privado.  En teoría, la tasa de descuento es la tasa a superar, se elige para maximizar el bienestar económico del inversionista.  Un enfoque parte desde el costo de oportunidad, considerando el racionamiento de capital o restricción presupuestaria. (el obtener fondos cuesta dinero en forma de interés, se obtiene de dos formas; por financiamiento de patrimonio y/o deuda, es usual una combinación de ambos. Ejemplo; Si un bien se compra con 40% de la tarjeta de crédito al 18% anual, y el 60% de la cuenta de ahorro, con un crecimiento de 5% anual, el costo promedio ponderado del capital es 0.4(18) + 0.6(5) = 10.2% anual)

Tasa de utilidad anual (%) 35 A 30 B 26 C 23 D 19 E 16 F 14 G F y G se rechazan, tasa mínima aceptable 16% Tasa de descuento  En la figura se presenta un ejemplo que muestra el racionamiento del capital, donde se grafican los requerimientos acumulados de la inversión de 7 proyectos aceptables, contra la tasa de utilidad anual prospectiva de cada uno.  El capital disponible asciende a $6 millones. $ millones  El último de los proyectos que se financian sería el E, con una utilidad esperada del 19% anual.

Tasa de utilidad anual esperada Inversión estimada Inversión acumulada 40% o más – 39,9% – 29,9% – 19,9% Menos del 10% Ejemplo  Considere la siguiente programación, que muestra las tasas de utilidad anual para el portafolio de proyectos de inversión de una compañía.  Si el capital se obtiene de fuentes internas y externas tiene un costo de 15% anual para los primeros invertidos, y de ahí en adelante se incrementa un 1% por cada ¿Cuál será la TREMA de la compañía si se considera el punto de vista de costo de oportunidad?

Oferta Demanda La demanda de capital acumulado v/s la oferta se grafican como lo muestra la figura. El punto de intersección es el 18% anual aprox. el cual representa una estimación realista de la TREMA de esta compañía, si se considera el punto de vista del costo de oportunidad. TREMA

Es frecuente que las empresas establezcan dos o más niveles de la TREMA (MARR, Minimal Acceptable Rate of Return) de acuerdo con las categorías de riesgo, por ejemplo: Nivel de RiesgoMARR Alto Riesgo Productos nuevos Negocios nuevos Adquisiciones Coinversiones (Joint Venture) 40% Riesgo Moderado Aumento en la capacidad para cumplir las ventas previstas 25% Bajo Riesgo Mejoramiento de costos Hacer contra comprar Aumentar la capacidad para cumplir con los pedidos existentes 15% TREMA

 Como ejemplo de tasas de descuento (o de corte), indicamos las siguientes: a) Tasa de descuento ajustada al riesgo = Interés que se puede obtener del dinero en inversiones sin riesgo (deuda pública) + prima de riesgo). (CAPM) b) Costo medio ponderado del capital empleado en el proyecto.(WACC Proyecto) c) Costo de la deuda, si el proyecto se financia en su totalidad mediante préstamo o capital ajeno. d) Costo medio ponderado del capital empleado por la empresa. (WACC Empresa) e) Costo de oportunidad del dinero, entendiendo como tal el mejor uso alternativo, incluyendo todas sus posibles utilizaciones. (Visto recientemente) En general, siempre existe polémica en torno a la fijación de la tasa de descuento al interior de las empresas