PRODUCTO CARTESIANO RELACIONES BINARIAS

Producto Cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A × B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B. A × B = { (x,y) / x  A ^ y  B }

Producto Cartesiano Ejemplo: Si A = { a, b, c } y B = { 1, 2 } AxB = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) } Note que A tiene 3 elementos B tiene 2 elementos A x B tiene 6 elementos.

Producto Cartesiano Ejemplo: A = { corazón, trébol, coco, espada } B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } A x B = { (corazón, 1), (corazón,2),…,(corazón,12), (trébol,1), (trébol,2), …,(trébol,12), …,(espada,12) } Note que A tiene 4 elementos B tiene 12 elementos A x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)

Producto Cartesiano Representación en forma de Tabla Ejemplo: A = {, } B = {,, }

Producto Cartesiano Representación en forma de Diagrama Ejemplo: A = {, } B = {,, }

Producto Cartesiano Ejemplo: A = {, } B = {,, }

Gráfico cartesiano Dados los conjuntos A = { 1, 2 } y B = { 1, 2, 3 } el gráfico cartesiano de A x B es: La primera componente de cada elemento del producto cartesiano es la abscisa La segunda componente de cada elemento del producto cartesiano es la ordenada

Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de A x B donde A = { x / x  R  –1  x  1 } B = R

Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de A x B donde A = { x / x  R  2  x < 5 } B = { x / x  R  1 < x  3}

Relación entre elementos de conjuntos Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada.

Relación entre elementos de conjuntos Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B.

Relaciones Dado el siguiente diagrama que relaciona los elementos de A con los de B b está relacionado con 1 3 es el correspondiente de d

Conjuntos de salida y de llegada de un relación A es el conjunto de salida y B es el conjunto de llegada

Dominio de una relación Dom(R) =  x / x  A  (x,y)  R  Dom(R) = {b, c, d}

Imagen de una relación Im(R) =  y / y  B  (x,y)  R  Im(R) = {1, 3, 4}

Notación Si R es una relación entre A y B, la expresión x R y significa que (x,y)  R, o sea, que x está relacionado con y por la relación R. Ej: b R 1 porque (b,1)  R

Relación definida en un conjunto Cuando los conjuntos de partida y de llegada de una relación R son el mismo conjunto A, decimos que R es una relación definida en A, o, simplemente, una relación en A. Una relación R en A es entonces un subconjunto de A 2 = A x A

Relación definida en un conjunto Ejemplo: Sea H = { x / x es un ser humano} y R la relación “es madre de” – R es una relación en H. Por qué? – Como Ana es la madre de Luis, decimos que el par (Ana,Luis)  R. – Note que los pares que verifiquen R son un subconjunto de H x H.

Propiedades de las relaciones definidas en un conjunto Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen cinco propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación Propiedad reflexiva Propiedad simétrica Propiedad asimétrica Propiedad antisimétrica Propiedad transitiva

Propiedad reflexiva La propiedad reflexiva dice que todos los elementos de un conjunto están relacionados con si mismo R es reflexiva si para todo x  A, el par (x,x)  R

Propiedad simétrica La propiedad simétrica dice que si un elemento está relacionado con otro, éste segundo también está relacionado con el primero R es simétrica si siempre que un par (x,y)  R, el par (y,x) también pertenece a R

Propiedad Simétrica Ejemplo – Dado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes relaciones en A 2 son simétricas R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)} S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}

Propiedad asimétrica Una relación es asimétrica si ningún par ordenado de la relación cumple la propiedad simétrica.

Propiedad antisimétrica Una relación es antisimétrica cuando sólo cumplen la propiedad simétrica los pares de elementos iguales y no la cumplen los pares formados por distintos elementos.

Propiedad antisimétrica Ejemplo – Dado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes relaciones en A 2 son antisimétricas R = {(2, 2), (4, 4)} S = {(2, 4)} T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}

Propiedad transitiva La propiedad transitiva dice que si un elemento está relacionado con otro y éste está a su vez relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero. R es transitiva si  x,  y,  z, (x,y)  R  (y,z)  R  (x,z)  R

Propiedad transitiva Ejemplo – Dado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes relaciones en A 2 son transitivas R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}

Ejercicio Dado A = {1, 2, 3} decir a que tipo pertenecen las siguientes relaciones – R1 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}. – R2 = {(1, 1)}. – R3 = {(1, 2)}. – R4 = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}.

Ejercicio Sea A = {2, 3, 4, 5, 6} R = {(x, y) / x  A, y  A, | x – y | es divisible por 3} Escribir por extensión a R.

Relación de equivalencia Permite marcar características similares entre los elementos de un conjunto

Ejemplo de Relación de Equivalencia Sea H el conjunto formado por todos los seres humanos. R= {(x, y) / x,y  H ^ "x es compatriota de y"} – R es reflexiva puesto que toda persona es compatriota de si mismo. – R es simétrica, puesto que "si x es compatriota de y, y es compatriota de x". – R es transitiva, por que "si x es compatriota de y e y es compatriota de z, entonces x es compatriota de z".

Ejemplo de Relación de Equivalencia Sea H el conjunto formado por todos los seres humanos. R= {(x, y) / x,y  H ^ "x es compatriota de y"} – Dado un elemento a de H, su clase de equivalencia estará formada por sus compatriotas. – El conjunto cociente de H por R, H/R, es el conjunto formado por todas las clases de equivalencias. – H/R es una partición de H.

Ejercicio ¿ Cuál de las siguientes relaciones en S son de equivalencia? – R = {(a, b)/ a y b tienen la misma madre}, donde S = {a / a es cualquier persona} – S es el conjunto de números enteros y R es la relación “x es congruente con y módulo 2”, es decir, que x e y tienen el mismo resto al ser divididos por 2.