Capítulo 10 Test de Hipótesis Capítulo 10 Test de Hipótesis

Contraste de Hipótesis Contrastar una Hipótesis Estadísticamente es juzgar si cierta propiedad supuesta para una población es compatible con lo observado en una muestra de ella. Tipos de Hipótesis: 3 Hipótesis Alternativas 3 Hipótesis Anidadas Alternativas: Hipótesis A v/s Hipótesis B, donde A y B no pueden cumplirse simultáneamente. Anidadas: Hipótesis A y B, donde A es un caso especial de B.

Contraste de Hipótesis Hipótesis Simple: El parámetro tiene un único valor. Hipótesis Compuesta: El parámetro tiene varios valores. Hipótesis Nula: (H 0 ) es la hipótesis que se contrasta. Esta hipótesis se mantendrá a no ser que los datos indiquen lo contrario. Esta hipótesis nunca se considera probada aunque puede ser rechazada por los datos. Hipótesis Alternativa: (H 1 ) es la hipótesis contrapuesta a H 0.

Elementos de una Prueba de Hipótesis 1.- Hipótesis Nula (H 0 ), Hipótesis Alternativa. 2.- Estadística de Prueba (Discrepancia). 3.- Región de Rechazo (Región Crítica). 4.- Regla de Decisión.

Definiciones Prueba (Contraste) de Hipótesis Estadística: es una regla  (Procedimiento) para decidir si rechazamos una hipótesis H 0. Estadística de Prueba: Es una función de la muestra. Interesa que contenga el máximo de información sobre H 0. Es en base a la información contenida en esta función que decidiremos respecto de la aceptación o rechazo de H 0. Región Crítica: Define los valores del estadístico de Prueba para los cuales se contradice H 0.

Definiciones Regla de Decisión: Procedimiento que acepta o rechaza H 0, dependiendo del valor del estadístico de Prueba. Nivel de Significación: Este valor  determina un valor crítico c : P ( d > c / H 0 ) = . El procedimiento de selección de “c” a partir de  tiene varias críticas: i. El resultado del Test depende mucho de . ii. Dar sólo el resultado del Test no permite diferenciar el grado de evidencia que la muestra indica a favor o en contra de H 0.

Definiciones Nivel crítico p: Se define el nivel crítico p del contrate como la probabilidad de obtener una discrepancia mayor o igual que la observada en la muestra bajo H 0. donde: : valor observado p: depende de la muestra

Consideremos H 0 :    0 v / s H 1 :    1 Sea  : Estado de Naturaleza  =  0   1  : Espacio de Información  = C  C C Regla de Decisión:x  C  H 0 es F x  C C  H 0 es V Error tipo I: Rechazar H 0 (cuando es verdadero) Error tipo II: Aceptar H 0 (cuando es falso) P(Error tipo I) = P  ( C ) = ,    0 P(Error tipo II) = P  (C C ) = ,    1 Fijada la región crítica C podemos definir:  C :   0,1    C (  ) = P  (C) Función Potencia

En la práctica interesa que ,  sean pequeños. Un método para construir un Test apropiado es: 1.- Fijar C : P  ( C )   dado  Sea  = {C : P  ( C )   } 2.- Elegir C : P  ( C C ) =  sea mínimo para C  . Toda región C   región crítica : P  ( C )   si    y P  ( C ) máxima    1, se dice Región Crítica Óptima.

Test de Comparación de Medias Supuesto: Independencia ~ ~ Caso Normal: Estadística de Prueba  i conocidos  i desconocidos pero iguales

donde Para el caso de  i desconocidos y distintos no hay solución exacta. Región crítica C se modifica

Ejemplo Una v.a. X tiene una ley de Probabilidades dada por: X Bajo H 0 p 1/61/61/61/61/61/6 Bajo H 1 p2/151/61/51/51/62/15 Regla: Se decide rechazar H 0 si X = 3 ó 4 Determinar:  = Error tipo I ;  = Error tipo II y la Potencia del Test

Solución  = P Ho ( C ) = P Ho (  3, 4  ) = 2/6 = 1/3  = P H1 ( C C ) = P H1 (  1, 2, 5, 6  ) = 1 - 2/5 = 3/5  C (  ) = P  (C) = 1 -  = 2/5

Resumen

HipótesisEstadística de Prueba (  conocido) (  desconocido) idem 

HipótesisEstadística de Prueba    

Problema Un nuevo dispositivo de filtrado se instala en una planta química. Antes y después de su instalación una m.a. respectiva arrojó la siguiente información del porcentaje de impurezas: AntesDespués ¿ El dispositivo de filtrado ha reducido el porcentaje de impurezas significativamente ?

Desarrollo 

Nivel de significancia  =0,05 t 0,975(15)gl = 2,131 Región crítica C = ] -  ; -2,131 ]  [ 2,131 ;  [ t 0  C C  Se acepta H 0 Es decir, el dispositivo nuevo no reduce significativamente el porcentaje de impurezas. Región crítica C = ] 0 ; 0,204 ]  [ 4,53 ;  [ F 0  C C  Se acepta H 0 :  1 2 =  2 2 