FLUJO LAMINAR EXTERNO Cátedra: Fundamentos de Transferencia de Calor Área: Convección Ing. Sandra Hase Facultad de Ciencias Exactas Químicas y Naturales Universidad Nacional de Misiones

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN III TEMA 7 : TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN III Flujo laminar externo. Análisis aproximado sobre una placa plana. Análisis exacto sobre una placa plana

FLUJO LAMINAR EXTERNO PLACA PLANA Análisis aproximado de la capa límite por métodos integrales (para el caso de flujo laminar externo sobre placa plana). El concepto de C.L. no es aplicable a flujo externo sobre cilindros o esferas Esto evita la descripción detallada del flujo en la capa límite. Si se usa una ecuación más simple (ecuaciones polinómicas) para describir las distribuciones de velocidad y temperatura en la capa límite. El problema se analiza sobre la base macroscópica, aplicando la ecuación de movimiento y la ecuación de la energía para el agregado de partículas de fluido contenidas dentro de la capa límite. Da soluciones aproximadas cuya exactitud en general depende del perfil considerado

Problema: 1 Usando un análisis integral aproximado de la capa límite sobre una placa plana, encontrar una expresión para el coeficiente de arrastre (Cf ) y el coeficiente de transferencia de calor (h) para el caso de un flujo que fluye sobre el exterior de una placa plana a velocidad u , temperatura T,, si la placa está: a) T = T para 0 ≤ x ≤ x0 y T = TS para x > x0 b) T = TS para x > 0

METODO INTEGRAL 1) Se plantean las ecuaciones de momentum y energía, en forma integral, para un volumen de control macroscópico en la capa límite 2) Se suponen los perfiles de velocidad y temperatura para los campos considerados 3) Se compara la solución con los métodos exactos

Ecuaciones de continuidad, momentum y energía válidas para la región de capa límite (d <<< y) Para Flujo estable, 2D, incompresible, de propiedades constantes

Evaluando la ecuación de momentum en el borde de la capa límite donde: En consecuencia, para placa plana, la ecuación de momentum en x será:

OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN INTEGRAL DEL MOMENTUM III I II

III

II II II Por condición de no deslizamiento De la ecuación de continuidad : Por continuidad II II

DE LA ECUACIÓN INTEGRAL DEL MOMENTUM

2) Perfil de velocidad supuesto Suponiendo un perfil cúbico para la velocidad Donde las constantes se evalúan con las siguientes condiciones de frontera: Por condición de no deslizamiento En el borde de la C.L. Evaluando la ec. De momentum en y=0.

Resolviendo las ecuaciones se obtienen los coeficientes El perfil de velocidad es: Reemplazando en la ecuación integral del momentum

Haciendo distributiva y sacando u como factor común Integrando

Separando variables Integrando Indica que el espesor de la capa límite es directamente proporcional a x e inversamente proporcional a u

Reemplazando en el perfil de velocidad

Cálculo del coeficiente de fricción El coeficiente de arrastre es inversamente proporcional a “x” y a “u”

Valor promedio del coeficiente de arrastre para placa plana Fuerzas de arrastre que actúan sobre la placa

OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN INTEGRAL DE LA ENERGÍA Si donde Es el espesor de la capa límite térmica Donde se desprecia el término de disipación de energía por efectos viscosos

a) T = T para 0 ≤ x ≤ x0 y T = TS para x > x0 OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN INTEGRAL DE LA ENERGÍA a) T = T para 0 ≤ x ≤ x0 y T = TS para x > x0 Si H > d(t) y d para III I II

1 De la ecuación de continuidad :

Esta ecuación es válida entre 0 ≤ y ≤dt, , porque para todo y > dt , q = 1 y la ecuación se hace cero ECUACIÓN INTEGRAL DE LA ENERGÍA

2) Perfil de temperatura supuesto Suponiendo un perfil cúbico para la temperatura Donde las constantes se evalúan con las siguientes condiciones de frontera: Evaluando la ec. de energía en y=0.

Resolviendo las ecuaciones se obtienen los coeficientes El perfil de temperatura es: Reemplazando en la ecuación integral de la energía

Integrando

Definiendo una nueva variable:

Simplificaciones Se puede despreciar el término D4 1) Si consideramos que: 10 Separando variables: Derivando

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden para D3 Dividiendo por : Recordando que la ecuación diferencial de forma: Solución homogénea Solución completa Solución particular

a) Para T = T para 0 ≤ x ≤ x0 y T = TS para x > x0 C es una constante que se determina a partir de las siguientes condiciones: a) Para T = T para 0 ≤ x ≤ x0 y T = TS para x > x0

b) T = TS para x > x0 Suposición : Si la transferencia de calor al fluido se inicia desde la arista de entrada Recordando que

Reemplazando en el perfil de temperatura obtenido

Cálculo del coeficiente de transferencia de calor por convección El coeficiente de transferencia de calor por convección es inversamente proporcional a x y directamente proporcional a k Para Pr > 1 Aunque se cumple con exactitud para 0,6<Pr<10 (gases y líquidos)

Valor promedio del coeficiente de transferencia de calor por convección para placa plana Para calcular este coeficiente las propiedades del fluido se determinan a la temperatura media aritmética entre T y Ts

Análisis aproximado sobre una placa plana para metales líquidos Análisis aproximado sobre una placa plana para metales líquidos. Pr <<1 Un metal líquido a temperatura T y velocidad u fluye sobre una placa plana a temperatura TS. De la ecuación integral de la energía donde Para metales líquidos la capa límite de velocidad es muy delgada y la velocidad del flujo en la mayor parte de la capa límite térmica es uniforme, y se puede considerar que:

Suponiendo un perfil cúbico para la temperatura Sustituyendo en la ecuación integral de la energía Integrando Sustituyendo los límites y simplificando

Separando variables Integrando

Cálculo del coeficiente de transferencia de calor por convección Si: Y Pe: es el Número de PECLET

FLUJO LAMINAR EXTERNO ANALISIS EXACTO SOLUCIÓN DE BLASIUS

Problema: 2 Usando un análisis EXACTO de la capa límite sobre una placa plana, encontrar una expresión para el coeficiente de arrastre (Cf ) y el coeficiente de transferencia de calor (h) para el caso de un flujo que fluye sobre el exterior de una placa plana a velocidad u , temperatura T,, si la placa está a TS

Ecuaciones de continuidad, momentum y energía válidas para la región de capa límite (d <<< y)

Un campo de velocidad bidimensional se puede expresar en forma vectorial : Si el flujo es estable, el camino de las partículas individuales aparecen como líneas de corriente estables. Las líneas de corriente se pueden expresar en términos de una función corriente: Donde cada valor de la constante identifica una línea de corriente separada.

La velocidad u está dirigida a lo largo de la línea de corriente de tal manera que no hay flujo a través de ellas. Cualquier par de líneas de corriente adyacentes, se asemejan a un flujo de calor en un gráfico de flujo, tales canales son adiabáticos. (no hay flujo de calor através de ellos) Escribimos la ecuación de conservación de masa suponiendo que el flujo de masa entrante y saliente , sobre dos caras de un elemento triangular de profundidad unitaria, es estable O bien Diferenciando la función corriente a lo largo de cualquier línea de corriente, tenemos:

Comparando : Aplicando la ecuación de continuidad Así: La ecuación de continuidad es automáticamente satisfecha, y no se la necesita de aquí en más

Los resultados obtenidos mediante el método integral aproximado deben compararse con resultados exactos Solución hidrodinámica por el método de Blasius Se definen las componentes de la velocidad en términos de la función corriente: Se definen nuevas variables dependientes (f) e independientes (h)

El uso de estas nuevas variables, simplifican el problema reduciendo la ecuación diferencial del momentum a una ecuación diferencial ordinaria. La solución de Blasius se llama solución de SIMILARIDAD, y las nuevas variables (f y h) se llaman variables de similaridad Esta terminología se usa porque, a pesar del crecimiento de la capa límite con al distancia x, el perfil de velocidad u/u permanece similarmente geométricamente Esta similaridad es de la forma funcional : Suponiendo que el espesor de la capa límite hidrodinámica d(x) varíe según: De aquí, el perfil de velocidad se supone que está únicamente determinado por la variable de similaridad h, que depende de x e y

Datos necesarios para el cambio de variables donde

Se puede expresar la ecuación de momentum en función de las nuevas variables: 1) donde

2) Si:

3) Derivando como un producto: Sacando factor común

4)

5)

Así, el problema de la capa límite hidrodinámica se reduce a solucionar una ecuación diferencial ordinaria de 3er orden, no lineal. Con las siguientes condiciones de frontera 1) porque 2) porque 3) porque

Las soluciones de estas ecuaciones NO son fáciles de obtener 1) Sabiendo que por definición de C.L. : La solución en forma cerrada no existe Si Los resultados numéricos se presentan en la tabla De la tabla: Una solución exacta se obtiene por serie de expansión o por métodos numéricos Borde de la capa límite Valor aproximado

Valor aproximado

Se puede expresar la ecuación de la energía en función de las nuevas variables: Adimensionalizando la ecuación de la energía Asumiendo una solución de similaridad de la forma

porque porque

La dependencia de esta ecuación con las condiciones hidrodinámicas aparece a través de la variable f que aparece en esta ecuación Pr-1 Con las siguientes condiciones frontera:

La ecuación ha sido numéricamente resuelta para distintos valores del Pr Una consecuencia importante de esta ecuación es que para 0,6<Pr<50 ,los gradientes de temperatura superficiales: se pueden correlacionar por:

Calculo del coeficiente de calor por convección

Estos parámetros se pueden usar para calcular importantes parámetros de la capa límite laminar. TS y h son “infinitos” en el borde de ataque y disminuyen con x-1/2 en la dirección del flujo Las ecuaciones para Cf y Nu tienen la misma forma, lo que confirma una analogía entre la transferencia de calor y la transferencia de momentum

y Si