Matemáticas Aplicadas CS I LÍMITES Y CONTINUIDAD U.D. 8 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

CONTINUIDAD DE FUNCIONES U.D. 7.8 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

CONTINUIDAD DE FUNCIONES Una función y=f(x) se dice que es continua en un punto x=a, cuando se cumplen tres condiciones: 1) Existe la función en ese punto, existe f(a). Es decir, ‘a’ forma parte del dominio de la función. 2) Existe el límite de la función en dicho punto, lím f(x) xa Si la función en dicho punto está troceada, el límite por la derecha debe coincidir con el límite por la izquierda para que exista dicho límite. 3) El valor de la función en dicho punto coincide con el límite: f(a) = lím f(x) Como aun no se ha dado el concepto y el cálculo de límites, más adelante se volverá a este esquema para estudiar la continuidad de una función en un punto. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

TIPOS DE DISCONTINUIDADES Para estudiar la continuidad de una función hay que hacerlo en todo su dominio de definición. En aquellos puntos singulares del dominio o en aquellos puntos que no pertenezcan al dominio de la función, estudiaremos detenidamente la función y determinaremos el tipo de discontinuidad que pueda presentar. 1) EVITABLE , que es cuando no existe la función en dicho punto, pero sí el límite. 2) DE 1ª ESPECIE , cuando el valor de la función en dicho punto no coincide con el límite. 3) DE 2ª ESPECIE SALTO FINITO , cuando no existe el límite, al no coincidir el límite derecho con el izquierdo. 4) DE 2ª ESPECIE SALTO INFINITO , cuando uno de los límites derecho o izquierdo, o los dos, son más o menos infinito. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 1 x – 4 , si x < 2  Función lineal Sea f(x) = – 2 , si x ≥ 2  Función constante A la izquierda de x=2 ( función lineal ) es continua. A la derecha de x=2 ( función constante) es continua. Miramos si es continua en el punto x=2 1) f(2) = – 2 Es decir, x = 2 es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 2 – 4 = -2 Lím f(x) = -2 x2- x2+ El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego existe dicho límite y vale - 2. 3) f(2) = lím f(x)  - 2 = - 2 x2 La función es también continua en x = 2. Es continua en R @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 2 x2 – 9 , si x < 3  Función cuadrática Sea f(x) = x – 3 , si x > 3  Función lineal A la izquierda de x=3 ( función cuadrática ) es continua. A la derecha de x=3 ( función lineal) es continua. Miramos si es continua en el punto x=3 1) f(3) = NO existe. Es decir, x=3 no es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 32 – 9 = 0 Lím f(x) = 3 – 3 = 0 x3- x3+ El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego existe dicho límite y vale 0. 3) f(3) <> lím f(x) , al no existir f(3) x3 La función en x=3 presenta una DISCONTINUIDAD EVITABLE. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 3 Ejemplo 3 x2 – 2 , si x ≤ 1  Función cuadrática Sea f(x) = ex , si x > 1  Función exponencial A la izquierda de x=1 ( función cuadrática ) es continua. A la derecha de x=1 ( función exponencial) es continua. Miramos si es continua en el punto x=1 1) f(1) = 12 – 2 = 1-2= -1 Es decir, x=1 es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 12 – 2 = 1 – 2=- 1 Lím f(x) = e1 = e x1- x1+ El límite por la izquierda NO coincide con el límite por la derecha, luego NO existe límite. 3) No se puede cumplir al no existir límite. La función en x=1 presenta una DISCONTINUIDAD de 2ª ESPECIE CON SALTO FINITO. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 4 Ejemplo 4 x2 – 2 , si x ≤ 1  Función cuadrática Sea f(x) = ln (x – 1) , si x > 1  Función logarítmica A la izquierda de x=1 ( función cuadrática ) es continua. A la derecha de x=1 ( función logarítmica) es continua. Miramos si es continua en el punto x=1 1) f(1) = 12 – 2 = 1-2= -1 Es decir, x=1 es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 12 – 2 = 1 – 2=- 1 Lím f(x) = ln (1 – 1) = ln 0+ = - oo x1- x1+ El límite por la izquierda NO coincide con el límite por la derecha, luego NO existe límite. 3) f(1) <> lím f(x) , al no existir límite. x1 La función en x=1 presenta una DISCONTINUIDAD de 2ª ESPECIE CON SALTO INFINITO. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 5 Ejemplo 5 Hallar el valor de a para que la función sea continua en todo R x2 – 2 , si x ≤ 2 Sea f(x) = x – a , si x > 2 A la izquierda de x=2 es continua, e igual a la derecha de x=2. Miramos si es continua en el punto x=2 1) f(2) = 22 – 2 = 4-2= 2 Es decir, x=2 es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 22 – 2 = 4 – 2 = 2 Lím f(x) = 2 – a x2- x2+ Para que exista el límite ambos límites laterales deben ser iguales: 2 = 2 – a  Luego, en este caso a debe ser 0. 3) Si a = 0 f(2) = lím f(x) , pues 2 = 2 x2 Si a = 0, la función también es continua en x=2, y por tanto en todo R. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 5 Ejemplo 6 Hallar el valor de a y de b para que la función sea continua en todo R 2.x – a , si x < 1 Sea f(x) = x2 – x , si 1 ≤ x < 2 2 --- + b , si x > 2 x A la izquierda de x=1 es continua por ser una función lineal. A la derecha de x = 2 la función es continua, pues el único punto de discontinuidad es x=0, el cual no pertenece al intervalo x > 2. Analizamos si es continua en el punto x=1. (Forzamos que lo sea y obtenemos el valor del parámetro a que lo hace posible). Luego analizamos si es continua en el punto x=2. (Forzamos que lo sea y obtenemos el valor del parámetro b que lo hace posible). @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I … EJEMPLO 6 Hallar el valor de a y de b para que la función sea continua en todo R 2.x – a , si x < 1 Sea f(x) = x2 – x , si 1 ≤ x < 2 2 --- + b , si x > 2 x En x=1: 1) f(1) = 12 – 1 = 1 – 1 = 0 2) Lím f(x) = 12 – 1 = 1 – 1 = 0 Lím f(x) = 2.1 – a = 2 – a x1+ x1- Para que exista el límite: 0= 2 – a  a = 2  lím f(x)=0 x1 3) Si a = 2 f(1) = lím f(x) , pues 0 = 0 Si a = 2, la función es continua en x=1. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I … EJEMPLO 6 Hallar el valor de a y de b para que la función sea continua en todo R 2.x – a , si x < 1 Sea f(x) = x2 – x , si 1 ≤ x < 2 2 --- + b , si x > 2 x En x=2: 1) f(2) = No existe 2) Lím f(x) = (2/2) + b = 1 + b ,, Lím f(x) = 22 – 2 = 4 – 2 = 2 x2+ x2- Para que exista el límite: 1 + b = 2  b = 1  lím f(x) = 2 x2 3) Si b = 1 En x = 2 presenta una discontinuidad evitable. Conclusión: Si a = 2 y b = 1, la función es continua en x = 1 y presenta en x = 2 una discontinuidad evitable. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I