Sesión 2 : Números Primos

Números Primos Definición: sea p Є N, p es un número primo, si tiene exactamente dos divisores diferentes, el mismo y la unidad. El conjunto de los números primos se denota por P, de tal forma que: P = { 2,3,5,7,11,13,17,19,…}

Números Primos Definición: Un número natural se llama compuesto si tiene más de dos divisores. Los primeros números compuestos son 4,6,8,10,12,14,16.. Teorema : para todo a Є N, con a>1, se tiene que este a, se puede expresar como el producto de factores primos, y esta descomposición es única, excepto por el orden de los factores Teorema : sea a un número compuesto, entonces el primer número primo que divide al número a, es menor o igual a la raíz cuadrada del número a.

Números Primos Descomposición en factores primos de un número compuesto: la descomposición de un número compuesto a, se realiza asi: se divide a, entre los primeros números primos, hasta encontrar el menor de estos que divide a a, después de esto, el cociente de esta división también lo dividimos por los números primos mayores o iguales al encontrado anteriormente, hasta que el cociente obtenido sea 1 Ejemplo 276 2 138 69 3 23 1 276 = 2 x 2 x 3 x 23

Máximo Común Divisor de Dos Enteros (m.c.d) Definición: el máximo común divisor de dos enteros, es el máximo de todos los divisores comunes a ambos. Esto se expresa formalmente como: se dice que d Є Z, (d>0) es el m.c.d de los enteros a y b si: a) d|a y d|b, esto es, d es divisor común de a y b. b) si d´ Є Z, y es tal que d´|a y d´|b, entonces d´|d. El m.c.d de dos enteros, no puede ser mayor que el menor de los números Definicion: si dos o más enteros tienen como m.c.d al número 1, se llaman primos relativos

Cálculo del m.c.d Dos Enteros Método 1: se descomponen los números dados en sus factores primos, y de dichas descomposiciones, se escogen los factores primos comunes a ambos, afectados por su menor exponente. El m.c.d será el producto de dichos factores afectados por su menor exponente Ejemplo Encontrar el m.c.d de (440, 1300) 440 2 220 110 55 5 11 1 1300 2 650 325 5 65 13 1 440 2 5 11 1300 13 m.c.d = 2x2x5 = 20

Cálculo del m.c.d Dos Enteros Método 2 (algoritmo de euclides) paso 1: sean p y q enteros, se divide el mayor de los números entre el menor, si el residuo en cero, entonces el m.c.d de estos números es el divisor, si es diferente de cero, ir al paso 2. paso 2: como el residuo fue diferente de cero, se divide el divisor anterior entre dicho residuo, si el residuo de esta división es cero, entonces m.c.d(p,q) es el divisor de esta última división, y si es diferente de cero, se aplica nuevamente este paso al último residuo y divisor, y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero, entonces el m.c.d(p,q) es el último divisor cuyo residuo sea cero. Ejemplo Encontrar el m.c.d de (440, 1300) aplicando el algoritmo de Euclides 1300 = 440 x 2 + 420 440 = 420 x 1 + 20 420 = 20 x 21 + 0 El m.c.d (440,1300) es 20

Mínimo Común Múltiplo de Dos Enteros (M.C.M) Definición: el mínimo común múltiplo (M.C.M) de dos enteros, es el mínimo de todos los múltiplos comunes a ambos. El M.C.M de dos enteros, no puede ser menor que el mayor de los números dados

Cálculo del M.C.M Dos Enteros Método 1: se descomponen los números dados en sus factores primos, y de dichas descomposiciones, se escogen todos los factores primos, de estos números, en el caso de haber factores comunes en ambas descomposiciones, se escogen estos, afectados por su mayor exponente. El M.C.M será el producto de dichos factores afectados por su mayor exponente. Ejemplo Encontrar el M.C.M de (440, 1300) 440 2 220 110 55 5 11 1 1300 2 650 325 5 65 13 1 440 2 5 11 1300 13 M.C.M = 2x2x2x5x5x11x13 = 28600

Cálculo del M.C.M Dos Enteros Método 2: El M.C.M de dos enteros es igual al cociente de dividir el producto de dichos números entre el m.c.d de los mismos números. Por tanto, sean a,b enteros, entonces M.C.M (a,b) = (axb)/m.c.d(a,b) Ejemplo Encontrar el M.C.M (440, 1300) M.C.M (440, 1300) = (440 x 1300)/m.c.d(440,1300) = 572000/20 =28600