CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN FACULTAD DE INGENIERÍAS PROGRAMA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA ÁREA ELECTRÓNICA CIRCUITOS I

CONTENIDO CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN SOLUCION POR LA ECUACIÓN DIFERENCIAL TECNICA PASO A PASO FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO (LEER) CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN ECUACIONES BÁSICAS CASOS (SUBAMORTIGUADO, SOBRE AMORTIGUADO Y CRPTICAMENTE AMORTIGUADO)

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN ANTES DE ANALIZAR ESTE CAMPO EN DC, INCIO CON EL SUPUESTO DE SUS REPASOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN. INCIEMOS CON EL EJERICIO DE UN CIRCUITO QUE REPRESENTE EL FLASH DE UNA CAMARA FOTOGRÁFICA.

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Para poder analizar en DC los comportamientos de los elementos almacenadores de energía nos basaremos en un elemento de los circuitos que es fundamental para conocer las etapas representadas en tiempo de las capacidades de almacenamiento de los dispositivos (el switch). Es fundamental ya que al enfrentarnos un nivel constante de alimentación requerimos una ayuda para simular cambios en el tiempo como si introdujéramos un pulso en dc.

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Observemos este caso que puede representar sin ningún problema un circuito cargador para un flash en una cámara fotográfica.

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Analicemos este caso que puede representar sin ningún problema un circuito cargador para un flash en una cámara fotográfica. Cuando el suiche se cierra utilizamos un LVK en el circuito y obtenemos el siguiente resultado. Más adelante el movimiento del suiche lo llamaremos t(0-) antes de moverlo y t(0+) cuando se mueve. Esto será fundamental para el análisis en DC. RESPUESTA ECUCACIÓN DIFERENCIAL

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN REVISEMOS UNA TÉCNICA PARA SOLUCIONAR ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN POR EL MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS. F (t) = A

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CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN. TECNICA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL También llamado análisis de variables de estado, se soporta en las ecuaciones diferenciales de primer orden, ya que encontramos combinaciones de circuitos RL, con switches y Rc con los mismos. Observemos a continuación su análisis general.

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN. TECNICA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN. TECNICA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL Si observamos la figura a, iniciaremos el análisis por el método de la ecuación diferencial, entonces iniciaremos nuestro análisis en t=0-, el capacitor se encuentra totalmente cargado y no conduce corriente ya que se comporta como un circuito abierto. Luego se procede a analizar como se observa en la figura c para t>0. La ecuación LCK para conocer el voltaje el capacitor es: Reemplazando valores tenemos:

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN. TECNICA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL La forma de la solución de esta ecuación homogénea es: Sustituyendo esta ecuación se encuentra que La solución sería: Luego se procede a analizar como se observa en la figura c para t>0. La ecuación LCK para conocer el voltaje el capacitor es: Reemplazando valores tenemos:

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN. TECNICA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL Ejemplo 2

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN. TÉCNICA PASO A PASO Si analizamos la solución general de la ecuación diferencial de primer orden resultante en circuitos Rl ó RC encontramos que cuando t tiende a ∞, la respuesta natural (exponencial tiende a cero y la respuesta general tiende a x(t) = K1. Es decir tiende al comportamiento que entregue la(s) fuente(s) que suministren energía de un circuito. En el estado variable anterior se utiliza por el comportamiento de los almacenadores de energía su reacción ante la fuente después de un tiempo prolongado (corto circuito y circuito abierto). Además se tiene un promedio después de 5taos donde el elemento almacenador ya entregado la energía que su capacidad podría almacenar, en este estado podemos analizar más allá un circuito de primer orden (t(∞)).

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN. TÉCNICA PASO A PASO Utilizando estas nuevas conclusiones podremos utilizar un método matemáticamente más ágil que la técnica de la ecuación diferencial, él es conocido como el método paso a paso. Y tiene el siguiente proceso ordenado: Se supone una solución de la forma X(t)= 𝐾1+𝐾2𝑒 −𝑡/ԏ Se supone que el circuito original ha alcanzado el estado estable antes de conectar el interruptor aproduciéndose un circuito nuevo), se sugiere dibujar el circuito en este estado t(0-) sustituyendo el capacitor por un circuito abierto o el inductor por un cortocircuito, Se despeja el voltaje en los extremos del capacitor, Vc(0-), o la corriente a través del inductor, IL(0-), antes de accionar el interruptor.

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN. TÉCNICA PASO A PASO Dibuje el circuito, para el estado donde t=(0+), suponiendo que la energía del elemento de almacenamiento no puede cambiar en un tiempo cero. Los interruptores están en nuevas posiciones y se sustituye el capacitor con una fuente de voltaje de valor Vc(0+) = Vc(0-) o el inductor con una fuente de corriente independiente de valor IL(0+) = IL(0-). Se despeja el valor inicial de la variable X(0+). Se considera que se alcanzo el estado estable después de conectar los interruptores, y se dibuja el circuito equivalente valido para t>5ԏ, cambiando el capacitor por un circuito abierto o el inductor por un cortocircuito. Se despeja el valor de estado estable de la variable 𝑥(𝑡) 𝑡>5𝜏=𝑥 ∞

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN. TÉCNICA PASO A PASO Dado que las constantes de tiempo para todos los voltajes y las corrientes en el circuito es la misma, se puede calcular reduciendo el circuito completo a un circuito en serie simple con una fuente de voltaje, un resistor y un elemento de almacenamiento (esto es, capacitor o inductor) por medio del circuito equivalente de Thevenin en las terminales del elemento de almacenamiento. Este circuito equivalente de Thevenin se obtiene viendo el circuito desde las terminales del elemento de almacenamiento. La constante de tiempo para un circuito con un capacitor es 𝜏=𝑅𝑡ℎ𝐶, 𝑦𝜏=𝐿/𝑅𝑡ℎ para un circuito con un inductor.

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN. TÉCNICA PASO A PASO Utilice los resultados de los pasos 3,4 y 5 se pueden evaluar las constantes del paso 1 cómo: 𝑥 0+ =𝐾1+𝐾2 𝑥 ∞ =𝐾1 Puede asociar fpacilmente las siguientes conclusiones: 𝐾1= 𝑥(∞) , K2=𝑥 0+ −𝑥(∞) 𝑥 𝑡 =𝑥 ∞ + 𝑥 0+ −𝑥(0−) 𝑒 − 𝑡 𝜏

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN. TÉCNICA PASO A PASO Ejemplo : encuentre el valor de i(t) para t>0. el circuito se encontraba en estado estable antes de cerrar el interruptor. PASOS: i(t) tiene la forma de 𝑖 𝑡 =𝐾1+𝐾2 𝑒 − 𝑡 𝜏 Esta forma se obtiene según las condiciones dadas en plano de la figura a.

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN. TÉCNICA PASO A PASO El voltaje inicial en los extremos del capacitor se calcula soportados en el plano de la figura b Calculando el voltaje Vc(0-) se calcula con un simple LVK

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN. TÉCNICA PASO A PASO En la figura c, tenemos un nuevo plano, cuando el suiche cambia de posición t=0+. El valor de la fuente de voltaje que sustituye el capacitor es Vc(0-) = Vc(0+) = 32V

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN. TÉCNICA PASO A PASO En la figura d, tenemos un nuevo plano, cuando 𝑡>5𝜏 La corriente i(∞) originada por al fuente de 36 V es:

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN. TÉCNICA PASO A PASO La resistencia equivalente de Thevenin se obtiene viendo la red desde las terminales de circuito abierto del capacitor de la figura d.

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN. TÉCNICA PASO A PASO Utilizando las condiciones iniciales halladas, se encuentran los valores de K1 y K2 𝑖 𝑡 = 9 2 + 5 6 𝑒 − 𝑡 0,15 𝑚𝐴

CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN. TÉCNICA PASO A PASO Si queremos ver el comportamiento de la variable encontrada podemos utilizar matlab para dibujar su comportamiento en cualquier instante de tiempo. Para ello debemos definir las variables, vamos a iniciar el intervalo del gráfico en t=0 s y vamos a incrementar la constante de tiempo 10 veces para obtener varios puntos y así poder graficar la variable: tao=0.15; tend=10*tao; t=linspace(0,tend,120); I=9/2 + (5/6)*exp(-t/tao); xlabel('tiempo (s)'); ylabel('corriente (mA)'); plot(t,I);

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CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN: CIRCUITOS rlc PARA ESTE CASO DEJO ESCANEADO ANEXO LA TEORIA REFERENTE A ESTOS CIRCUITOS, LES RECOMIENDO QUE LA ESTUDIEN Y LA TENGAN EN CUENTA. NOMBRE ARCHIVO: RLC CIRCUITOS 1