Teoría de Incertidumbres y presentación de resultados Prácticas de Física I Prof. Jesús Cuevas Maraver Departamento de Física Aplicada I Escuela Politécnica Superior

Medida e Incertidumbre Toda ciencia experimental se basa en observaciones cuantitativas que llamamos medidas A su vez todo proceso de medida está sujeto a limitaciones que se traducen inevitablemente en la existencia de cierta incertidumbre asociada al resultado y que constituye una indicación cuantitativa de la calidad del mismo ¡Es esencial especificar la incertidumbre de una medida ya que nos indica el grado de fiabilidad y de exactitud de la misma! Medida = (Valor numérico ± incertidumbre) unidades

Errores en las medidas físicas Nos podemos hacer un par de preguntas respecto a nuestras medidas: ¿Cómo de cerca está el valor real? ¿Cómo de fiable es el resultado? Si volvemos a medir, ¿obtendremos el mismo resultado o parecido? Exactitud (Proximidad) Precisión (reproducibilidad)

Ambos tipos de errores pueden darse simultáneamente Errores sistemáticos: Siempre tienen lugar en el mismo sentido. Se deben a errores de calibración (error de cero), condiciones experimentales no apropiadas, tendencias erróneas en el observador, etc. Afectan a la exactitud de la medida. Errores accidentales: Se dan en diferente cuantía y sentido cada vez. Se deben a causas difíciles de controlar: fluctuaciones ambientales, fallos de apreciación, etc. Afectan a la precisión de la medida. Ambos tipos de errores pueden darse simultáneamente

Medidas directas

Evaluación de la incertidumbre típica de una medida directa Conlleva dos valoraciones diferentes: Incertidumbre tipo A Tiene en cuenta la variabilidad de las medidas en las mismas condiciones. Requiere de un análisis estadístico del conjunto de observaciones: 𝑢 𝐴 𝑥 =Desviación típica Incertidumbre tipo B Tiene en cuenta toda la información disponible acerca de la resolución del instrumento de medida, especificaciones del fabricante, certificados de calibración… En las prácticas de laboratorio de Física I, a menos que en el guión de la práctica a realizar se indique otra cosa, se tomará 𝑢 𝐵 𝑥 =Resolución del instrumento (𝛿𝑥) Finalmente, la incertidumbre típica (combinada) será igual a 𝑢 𝑐 𝑥 = 𝑢 𝐴 2 𝑥 + 𝑢 𝐵 2 𝑥

Análisis estadístico A partir de N observaciones independientes (x1,x2,x3,…xN), se toma El valor medio como resultado de la medida 𝑥 = 𝑖=1 𝑁 𝑥 𝑖 𝑁 La desviación típica del valor medio como incertidumbre tipo A 𝑢 𝐴 𝑥 = 𝑖=1 𝑁 (𝑥 𝑖 − 𝑥 ) 𝑁(𝑁−1) Si el número de medidas es menor que 10, podemos hacer la aproximación 𝑢 𝐴 𝑥 = 𝑥 𝑚𝑎𝑥 − 𝑥 𝑚𝑖𝑛 6

Resolución de los aparatos de medida Aparatos analógicos Se toma como resolución del instrumento la menor unidad que pueda medir el aparato (distancia entre dos divisiones) Aparatos digitales Se toma como resolución una unidad del último dígito de lectura δV=1 V δT=0.1 ºC

Incertidumbre expandida Define un intervalo en torno al resultado de la medición x en el que se espera encontrar gran parte de la distribución de valores que podrían ser razonablemente atribuidos al mensurando 𝑥−𝑈 𝑥 ,𝑥+𝑈 𝑥 Se define como 𝑈 𝑥 =𝑘 𝑢 𝑐 𝑥 k: Factor de cobertura. Nos proporciona el nivel de confianza del intervalo En general, tomaremos k=1 k=1 68.3 % k=2 95.4 % k=3 99.7 %

Incertidumbre relativa Es el cociente entre la incertidumbre (típica, combinada o expandida) y el resultado de la medida 𝑢 𝑟 𝑥 = 𝑢(𝑥) 𝑥 Se suele expresar en %. Para ello se multiplica por 100 el resultado: Por ejemplo si x=12 cm y u(x)=4 cm: ur(x)= 4/12=0,33=33%. No tiene unidades Da información sobre la bondad de la medida

Ejemplos Supongamos que medimos una temperatura cinco veces con un termómetro cuya resolución es δT=1ºC Resultado de la medida (valor medio) Incertidumbre Resultado final T1 T2 T3 T4 T5 64ºC 61ºC 65ºC 68ºC 𝑇 = 𝑖=1 5 𝑇 𝑖 5 =64.6ºC 𝑢 𝐴 𝑇 = 𝑇 𝑚𝑎𝑥 − 𝑇 𝑚𝑖𝑛 6 = 68−61 6 =1.2ºC 𝑢 𝐵 𝑇 =𝛿𝑇=1ºC 𝑈 𝑇 = 𝑢 𝑐 𝑇 = 𝑢 𝐴 2 𝑇 + 𝑢 𝐵 2 𝑇 =1.56ºC 𝑇= 64.6±1.6 ºC; 𝑢 𝑟 𝑇 =2.5 %

Ejemplos Supongamos que medimos una longitud tres veces con una regla graduada en milímetros (δL=1 mm) Resultado de la medida Incertidumbre Resultado final L1 L2 L3 6.5 cm 𝐿=6.5 cm 𝑢 𝐴 𝐿 =0 cm 𝑢 𝐵 𝐿 =𝛿𝐿=0.1 cm 𝑈 𝐿 = 𝑢 𝐵 𝐿 =0.1 cm 𝐿= 6.5±0.1 cm; 𝑢 𝑟 𝐿 =1.5 %

Presentación de resultados

Presentación de resultados ¿Qué tienen de extraño estas frases? La extinción de los dinosaurios ocurrió hace aproximadamente 65 millones de años y 3 días Las pirámides se construyeron hace unos 4000 años y 27 segundos El viaje de Marco Polo a China duró unos 4 años, 3 meses, 12 días, 3 horas, 23 minutos, 12 segundos y 345 milésimas El resultado de una medida debe expresarse con un número de cifras que viene determinado por el valor de la incertidumbre Por ejemplo, es absurdo dar como resultado x=(1.2732345678534±0.035) m Y tampoco tiene sentido: L=(2.1389639±0.18653617) m

Redondeo Norma Las incertidumbres deben darse con dos cifras significativas Deben descartarse del resultado todas las cifras que sean de orden inferior a la incertidumbre La última cifra conservada se redondea de la siguiente forma: Aumentándola en una unidad si la primera cifra descartada es mayor que 5 Dejándola tal cual si la primera cifra descartada es menor que 5 Si la primera cifra descartada es 5 y al menos una de las siguientes es mayor que 0, la última cifra conservada se aumenta en una unidad Si la primera cifra descartada es 5 y todas las demás son 0, la última cifra conservada no cambia si es par o se aumenta en una unidad si es impar (redondeo al par más próximo) x=(1.2732345678534±0.035) m x=(1.273±0.035) m L=(2.1389639±0.18653617) m L=(2.14±0.19) m

Observaciones Para números muy grandes o muy pequeños conviene usar la notación científica, esto es, en potencias de 10: 18000±3000 Pa→ 18.0±3.0 × 10 3 Pa 0.00256±0.00017 N→ 2.56±0.17 × 10 −3 N En ocasiones hay que tener en cuenta que algunos ceros no se pueden suprimir: 2±0.21 cm 2.00±0.21 cm

Ejemplos 4.81343 ± 0.04661 132.2894 ± 2.8754 5127 ± 234 0.53781 ± 0.00996 30353 ± 2550 2.3486 ± 0.345 4.813 ± 0.047 132.3 ± 2.9 5130 ± 230 0.5378 ± 0.0100 30400 ± 2600 2.35 ± 0.34

Medidas indirectas

Incertidumbre combinada de medidas indirectas Las medidas indirectas son magnitudes A que se calculan a partir de otras magnitudes (x,y,z) a partir de una fórmula A=f(x,y,z) En este caso, la incertidumbre típica combinada viene dada por 𝑢 𝑐 𝐴 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 2 𝑢 2 𝑥 + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 2 𝑢 2 𝑦 + 𝜕𝑓 𝜕𝑧 2 𝑢 2 𝑧

Ejemplo sencillo Calculamos el volumen de un paralelepípedo a partir de los valores obtenido de las medidas de sus aristas Incertidumbre combinada Resultado b a c a = 10,00  0,10 cm b = 25,0  2,0 cm c = 15,0  1,5 cm V = a·b·c = 3750 cm3 𝑢 𝑐 𝑉 = 𝜕𝑉 𝜕𝑎 2 𝑢 2 𝑎 + 𝜕𝑉 𝜕𝑏 2 𝑢 2 𝑏 + 𝜕𝑉 𝜕𝑐 2 𝑢 2 𝑐 uc(V)=481,69622 cm3 𝜕𝑉 𝜕𝑎 =𝑏·𝑐 𝜕𝑉 𝜕𝑏 =𝑎·𝑐 𝜕𝑉 𝜕𝑐 =𝑎·𝑏 V = (3750  480) cm3

Observaciones Cuando los cálculos se realizan mediante calculadora u ordenador, conviene conservar siempre todas las cifras que éstos permitan, procediéndose al redondeo SÓLO en el resultado final, NUNCA redondeando resultados intermedios. Si en la fórmula o ley que permite el cálculo de una magnitud aparece alguna constante matemática o física (como π, NA, g, c, etc.), conviene considerar, en el momento de operar, el máximo número significativo de cifras, de forma que el error considerado sea despreciable frente a la incertidumbre de las magnitudes que intervienen en la fórmula.

Ejemplo: densidad de una bola de acero Cálculo de la densidad: 𝜌= 𝑚 4 3 𝜋 𝑅 3 = 𝑚 4 3 𝜋 𝐷 2 3 D m El diámetro D se mide con un calibre cuya resolución es δD=0.01 cm La masa m se mide con una balanza cuya resolución es δm=0.1 g 𝜌= 6𝑚 𝜋 𝐷 3

Ejemplo: densidad de una bola de acero Se mide el diámetro 7 veces Valor medio del diámetro Incertidumbre Resultado D1 (cm) D2 (cm) D3 (cm) D4 (cm) D5 (cm) D6 (cm) D7 (cm) 2.38 2.45 2.39 2.44 2.40 2.43 2.42 𝐷 = 𝑖=1 7 𝐷 𝑖 7 =2.4157 cm 𝑢 𝐴 𝐷 = 𝐷 𝑚𝑎𝑥 − 𝐷 𝑚𝑖𝑛 6 = 2.45−2.38 6 =0.011667 cm 𝑢 𝑐 𝐷 = 𝑢 𝐴 2 𝐷 + 𝑢 𝐵 2 𝐷 =0.015366 cm 𝑢 𝐵 𝐷 =𝛿𝐷=0.01 cm 𝐷= 2.416±0.015 cm

Ejemplo: densidad de una bola de acero Se realiza una única medida de la masa, obteniéndose En este caso la incertidumbre típica sólo es consecuencia de haber sido estimada la magnitud por una evaluación tipo B. Por tanto, la incertidumbre típica será igual a la resolución del instrumento Resultado 𝑚=57.7 g 𝑢 𝑚 =𝑢 𝐵 𝑚 =𝛿𝑚=0.1 g 𝑚= 57.7±0.1 g

Ejemplo: densidad de una bola de acero Calculamos la densidad Incertidumbre combinada Resultado final 𝜌= 6𝑚 𝜋 𝐷 3 =7.8170 g/cm 3 𝑢 𝑐 𝜌 = 𝜕𝜌 𝜕𝑚 2 𝑢 2 𝑚 + 𝜕𝜌 𝜕𝐷 2 𝑢 2 𝐷 𝑢 𝑐 𝜌 =0.1462 g/cm 3 𝜕𝜌 𝜕𝑚 = 6 𝜋 𝐷 3 𝜕𝜌 𝜕𝐷 =− 18𝑚 𝜋 𝐷 4 𝜌= 7.82±0.15 g/cm 3

Representaciones Gráficas

Cuándo no se necesita hacer una representación gráfica Supongamos un coche que recorre a velocidad constante v una distancia L=(100±1)m Para calcular v, 8 personas miden el tiempo que tarda en recorrer el coche la distancia L Los tiempos medidos por cada reloj son los siguientes: L t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 (4.0±0.1) s (3.9±0.1) s (4.1±0.1) s (3.8±0.1) s (4.2±0.1) s

Cuándo no se necesita hacer una representación gráfica Calculamos el valor medio del tiempo: 𝑡 = 𝑖=1 8 𝑡 𝑖 8 =4.075 s Calculamos la incertidumbre del tiempo: 𝑢 𝐴 (𝑡)= 𝑡 7 − 𝑡 5 6 ≈0.0667 s 𝑢 𝐵 (𝑡)=𝛿𝑡=0.1 s 𝑈 𝑡 =𝑢 𝑐 𝑡 = 𝑢 𝐴 2 (𝑡)+ 𝑢 𝐵 2 (𝑡) =0.12 s Resultado: 𝑡= 4.08±0.12 s; 𝑢 𝑟 𝑡 =2.9%

Cuándo no se necesita hacer una representación gráfica Calculamos la velocidad a partir de la fórmula: Incertidumbre combinada de la velocidad: Resultado final: 𝑣= 𝐿 𝑡 ≈24.5098 𝑠 𝑈 𝑣 =𝑢 𝑐 𝑣 = 𝜕𝑣 𝜕𝐿 2 𝑢 2 (𝐿)+ 𝜕𝑣 𝜕𝑡 2 𝑢 2 (𝑡) = 𝑢 2 (𝐿) 𝑡 2 + 𝐿 2 𝑢 2 (𝑡) 𝑡 4 =0.0017 𝑠 𝑣= 24.5098±0.0017 s

Cuándo sí se necesita hacer una representación gráfica Supongamos un coche que recorre a velocidad constante v una distancia L Para calcular v, 8 personas se sitúan en 8 puntos diferentes del recorrido situados a una distancia al origen Li y midiendo cada una (una sola vez) un tiempo ti L=0 L1 L2 L3 L7 L8 t1 t2 t3 t7 t8

Cuándo sí se necesita hacer una representación gráfica Resultados de las medidas: L=0 L1 L2 L3 L7 L8 t1 t2 t3 t7 t8 t (± 0.01 s) L (± 1 m) 0.51 12.5 1.01 25.0 1.57 37.5 2.10 50.0 2.47 62.5 3.06 75.0 3.55 87.5 4.14 100.0

Cuándo sí se necesita hacer una representación gráfica Sabemos que la distancia y el tiempo están relacionados a través de la relación lineal: 𝐿=𝑣𝑡 Si se representan gráficamente los valores obtenidos, de modo que la distancia esté en el eje de ordenadas y los tiempos en el eje de abcisas, los puntos deben estar alineados

Cuándo sí se necesita hacer una representación gráfica Debido a los errores experimentales, los puntos no están perfectamente alineados Por ello, hay que encontrar la recta de mejor ajuste a esos puntos Se puede hacer manualmente o de forma matemática

Ajuste por mínimos cuadrados (regresión lineal) Permite obtener la pendiente (m) y la ordenada en el origen (b) de la recta de mejor ajuste 𝑦=𝑚𝑥+𝑏 a partir de los datos experimentales {(x1, x2, … xn), (y1, y2, … yn)} 𝑢 𝑐 (𝑚)= 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖 −𝑚 𝑥 𝑖 −𝑏 2 (𝑛−2) 𝑖=1 𝑛 (𝑥 𝑖 2 − 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 /𝑛) 2 𝑚= 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑦 𝑖 − 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 2 − 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 2 𝑢 𝑐 (𝑏)= 𝑢 𝑐 (𝑚) 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 2 𝑏= 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖 −𝑚 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑛

Ajuste por mínimos cuadrados (regresión lineal) El coeficiente de correlación (r) e una medida cuantitativa de la cercanía de los puntos experimentales a la recta de regresión |r|<1 y su signo coincide con el de m Cuanto más cerca esté |r| de 1, mejor es el ajuste. Si |r|<0.9, los puntos no se suelen ajustar a una recta. Por otro lado, |r|=1 es una indicación de la baja precisión de los aparatos de medida. Siempre se debe expresar con todas sus cifras hasta la primera que no sea 9, redondeándola en su caso: r = 0.9996714  r = 0.9997 𝑟= 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑦 𝑖 − 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 2 − 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 2 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖 2 − 𝑖=1 𝑛 𝑦 𝑖 2

¿Cómo se resuelve un problema usando la recta de mejor ajuste? Debe identificarse la fórmula matemática de nuestro problema con la recta de regresión Por tanto, la velocidad coincidirá con la pendiente, y la ordenada en el origen debe ser cero Aplicando las fórmulas de mínimos cuadrados se obtiene 𝑦=𝑚 𝑥+𝑏 𝐿=𝑣 𝑡 + 0 𝑣≡𝑚= 24.41±0.37 m s 𝑏= 0.07±0.97 m∋0 m 𝑟=0.9993

Cómo debe hacerse una representación gráfica Eje de ordenadas (v. dependiente) Puntos distribuidos por toda la gráfica Barras de error Eje de abcisas (v. independiente) Identificación de los ejes Escala sencilla I (mA) 1 2 3 4 5 6 7 8 V (102 mV) 12 13 14 15 16 17 El origen no tiene porqué ser el (0,0) ¡Nunca! (La gráfica debe estar limpia) Línea de ajuste

Cómo no debe hacerse una representación gráfica Espaciado absurdo en el eje Líneas o cuadrículas no necesarias Los puntos no deben unirse La leyenda sobra El espacio en blanco hace que los puntos estén en una región pequeña No deben incluirse decimales salvo que sea necesario. Y menos en un número tan grande

Otra utilidad de la regresión lineal Supongamos que estamos tomando las medidas de tiempos del coche anterior, pero no sabemos si se está moviendo con velocidad constante (𝐿=𝑣𝑡) o aceleración constante (𝐿= 1 2 𝑎 𝑡 2 ) Podemos hacer dos representaciones: una de L frente a t y otra de L frente a t2 y ver en cuál de ellas los puntos están más cercanos a una recta Esto se puede comprobar a ojo o de forma cuantitativa mediante el coeficiente de correlación

Otra utilidad de la regresión lineal t (s) L (m) 2.47 12.5 3.49 25.0 4.22 37.5 4.92 50.0 5.47 62.5 6.09 75.0 6.50 87.5 6.99 100.0 𝑟=0.992 t2 (s2) L (m) 6.1009 12.5 12.1801 25.0 17.8084 37.5 24.2064 50.0 29.9209 62.5 37.0881 75.0 42.2500 87.5 48.8601 100.0 𝑟=0.9997 Movimiento acelerado 𝑚= 2.046±0.020 m/ s 2 𝒎= 𝒂 𝟐 𝑎= 4.092±0.040 m/ s 2