TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS INCERTIDUMBRE

Presentación del tema: "TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS INCERTIDUMBRE"— Transcripción de la presentación:

1 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS INCERTIDUMBRE
PROPAGACIÓN DE ERRORES

2 TÉCNICAS NUMÉRICAS La química es una ciencia cualitativa (observa y describe las propiedades de la materia) y cuantitativa (mide las proporciones que hay de la materia), dentro del ser cuantitativa de la química hay algunas relaciones que sólo pueden expresarse satisfactoriamente con la ayuda de algunas técnicas numéricas matemáticas como: la notación científica, el redondeo, las identificación de cifras significativas, la incertidumbre en una medida y la propagación de errores. A continuación conoceremos algunas de ellas.

3 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: método del redondeo
Antes de conocer qué significa una cifra significativa, qué representa esta o cuáles son cifras significativas y cuáles no, veremos el método del redondeo. El método de redondeo puede realizarse mediante un procedimiento muy práctico, como lo estudiaremos a continuación:

4 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: método del redondeo
Para redondear un número hasta cierto punto, simplemente se eliminan los dígitos que siguen al último dígito que se quiere conservar, teniendo en cuenta el primer dígito que se elimina si es MENOR, MAYOR o IGUAL que 5 y esto modifica o no el último dígito que se conserva. Así:

5 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: método del redondeo
MENORES A 5 1. Si se quiere redondear el número 2,7493 a dos dígitos, 2,7⌐493, como el primer dígito que se elimina (4) es menor que 5, el último dígito (7) que se quiere conservar queda igual, quedando el valor redondeado 2,7 y los dígitos 4,9 y 3 se eliminan.

6 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: método del redondeo
MAYORES A 5 2. Si el número a redondear a dos dígitos es 2,4657, 2,4⌐657, como el primer dígito que se elimina (6) es mayor igual que 5, el último dígito (4) que se quiere conservar se le añade un dígito, quedando el valor redondeado 2,5 y los dígitos 65 y 7 se eliminan.

7 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: método del redondeo
IGUALES A 5 3. Si el número a redondear a dos dígitos es 2,4557, 2,4⌐557, como el primer dígito que se elimina (5) es igual que 5, se deber identificar el último dígito (4) que se quiere conservar, si es número par se deja igual y si es impar se le añade un dígito, quedando el valor redondeado 2,4 y los dígitos 55 y 7 se eliminan.

8 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: método del redondeo

9 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: método del redondeo

10 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: método del redondeo
Durante la realización de un cálculo matemático, es recomendable realizar el método de redondeo al final del cálculo, ya que si se realiza en cada etapa del cálculo, éste acumulará errores.

11 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Es necesario manejar correctamente el método de redondeo y la cantidad de cifras necesarias que se requieren para expresar un dato, una medición química o física. Para poder saber la cantidad de cifras significativas que hay en un valor obtenido es necesario tener en cuenta las siguientes recomendaciones: 1. Los dígitos del 1 al 9 se consideran como cifras significativas. Ejemplos: 1995 tiene cuatro cifras significativas 34,59 tiene cuatro cifras significativas.

12 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS
2. Los ceros que estén entre dígitos significativos son considerados como cifras significativas. Ejemplos: 10348 tiene cinco cifras significativas 10,908 tiene cinco cifras significativas. 3. Los ceros localizados a la izquierda de la coma decimal o de dígitos del 1 al 9 no se consideran como cifras significativas. Ejemplos: 0,5603 tiene cuatro cifras significativas 0,0054 tiene dos cifras significativas.

13 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS
4. Los ceros localizados a la derecha de la coma decimal o de dígitos del 1 al 9 se consideran como cifras significativas. Ejemplos: 0,6590 tiene cuatro cifras significativas 8,00 tiene tres cifras significativas.

14 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS
5. En los números sin decimales, los ceros ubicados a la derecha de dígitos del 1 al 9 pueden o no ser cifras significativas. Ejemplos: 600, puede tener una (6), dos (60) o tres (600) cifras significativas. Este problema se resuelve utilizando la notación científica así 6 x 102 tiene una cifra significativa, 6,0 x 102 tiene dos cifras significativas. 6,00 x 102 tiene tres cifras significativas

15 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: Ejercicios de apoyo
Determina cuantas cifras significativas hay en cada uno de los siguientes números: 4,96 162,9 100,01 100,00 0,123 0,003 0,0030 1,67 x 1016 4,1 x 10-23 4,0 x 102 404

16 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: Ejercicios de apoyo
Respuestas a los ejercicios anteriores: 3 4 5 1 2

17 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: Ejercicios de apoyo
Redondear las siguientes masas atómicas a 4 cifras significativas

18 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: cálculos
Cuando se realizan cálculos matemáticos basados en datos obtenidos experimentalmente en el laboratorio es importante que cada resultado se exprese con el número adecuado de cifras significativas, y es diferente según la operación matemática que se realice, encontrándose en un primer grupo la adición y sustracción y en el segundo la multiplicación y división.

19 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: cálculos
La adición y sustracción En la adición y la sustracción el resultado debe expresarse según la menor cantidad de dígitos a la derecha de la coma decimal que tengan los números dados para dicho cálculo, para lo cual se utiliza el redondeo, como ejemplos tenemos:

20 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: cálculos
La adición y sustracción

21 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: cálculos
La multiplicación y división En la multiplicación y la división se emplea una regla diferente. El número de cifras significativas del resultado es igual al menor número de cifras significativas de cualquiera de los números multiplicados o divididos, como ejemplo tenemos:

22 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: cálculos
La multiplicación y división

23 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: cálculos - excepciones
Promedio: Cuando se calcula un promedio la cantidad de cifras tenidas en cuenta para el cálculo del mismo no es tenida en cuenta para determinar la cantidad de cifras, por ejemplo:

24 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: cálculos - excepciones
Constantes: no afecta al número de cifras cuando el valor obtenido es contando en vez de midiendo, y cuando el valor se multiplica por un número que es constante como resultado de una definición, por ejemplo:

25 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: cálculos – ejercicios de apoyo Realiza las siguientes operaciones, suponiendo que cada número es el resultado de una medida experimental, colocando la cantidad correcta de cifras significativas en tus resultados: 1. 1,91 x ,42456 x 10-3 3,61556 x 10-3 0, 5,33 x 10-3 3,62 x 10-3

26 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: cálculos – ejercicios de apoyo 2. 4, x – 3,130 x 10-1 4,753 x 102 4,754 x 102 4,753 x 10-2 4,75704 x 102 3. 3,91 x X 9,1 x 10-3 3,6 x 10-4 35,581 x 10-5 3,56 x 10–4 3,5581 x 10-4

27 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: cálculos – ejercicios de apoyo 4.   (3,14653 x X 2,0465 x 10-3 ) / 1,10 x 10-9 5, x 1011 5,90 x 1011 6,00 x 1011 5,85 x 1011 5. 0, ,14 0,165 0,17 0,2 0,1650

28 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: cálculos – ejercicios de apoyo 6.   (3, X 2,0465 ) / 1,10 5,853976 5,90 6,00 5,85 7. 10,04 X 0,150 1,5060 1,51 1,50 1,506

29 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: cálculos – ejercicios de apoyo 8.   Se midió la masa tres veces de la misma monedas las cuales arrojaron los siguientes resultados: 23,45g , 23,50g y 23,60g, el promedio de la masa de la moneda expresada correctamente con la cantidad de cifras apropiadas sería: 23,51g 2 g 23,52g 2 X 101g

30 TÉCNICAS NUMÉRICAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS: cálculos – ejercicios de apoyo 1. D 2. B 3. A 4. D 5. B 6. D 7. B 8. C

31 TÉCNICAS NUMÉRICAS INCERTIDUMBRE
En la realización de mediciones o cálculos químicos se debe tener cuidado con el número correcto de cifras que se anotan. Los aparatos utilizados para estas mediciones, tienen algún grado de incertidumbre, es decir no se tiene certeza del valor del último dato registrado, este último dato es incierto, así, cuando se escribe un valor obtenido en una medición o cálculo químico una regla que se emplea comúnmente es que la última cifra significativa (a la derecha) es la única que puede ser un poco imprecisa o dudosa. Los aparatos de medición se pueden mejorar para obtener más cifras significativas, pero siempre el último dato será incierto. Esta incertidumbre en la medición se puede explicar mediante el siguiente ejemplo:

32 TÉCNICAS NUMÉRICAS INCERTIDUMBRE
Al realizar una medición de la masa de un lápiz con una balanza digital, éste midió 15,37g. Del dato dado anteriormente, se tiene certeza del valor 15,3g (o sea de las tres primeras cifras), pero no hay certeza del valor 0,07g (la última cifra de la derecha), ya que puede estar este valor entre 0,06 y 0,08. Así que hay una incertidumbre en el dato, pues no sabemos cual era el valor que seguía al 0,3?, o si realmente era 0,37, entonces se dice que hay una incertidumbre en el dato de ± 0,01g. La forma correcta de expresar este dato sería 15,37± 0,01 g Se toma el valor de ± 0,01g por ser un instrumento digital

33 TÉCNICAS NUMÉRICAS INCERTIDUMBRE
La mayoría de instrumentos usados para realizar mediciones en ciencias tienen rotulada su incertidumbre por el fabricante, pero si no se conoce, se determina su incertidumbre absoluta, la cual tiene las mismas unidades que el valor reportado, si es un instrumento digital es la última cifra que puede reportar el equipo, si es análogo el último valor se divide entre dos.

34 TÉCNICAS NUMÉRICAS INCERTIDUMBRE en cálculos
En las mediciones cada incertidumbre relativa contribuye a la incertidumbre total y existe un método conocido como propagación de errores, el cual sigue una serie de reglas: Suma y resta: se suma la incertidumbre porcentual. Promedio: la incertidumbre también se promedia. Multiplicación, división y potenciación: sume las incertidumbres porcentuales.

35 TÉCNICAS NUMÉRICAS PROPAGACIÓN DE ERRORES
Las investigaciones que se realizan en un laboratorio o en el campo requieren un manejo numérico de las medidas realizadas y sus incertidumbres. Este manejo matemático puede ser visto de dos maneras, cuando las medidas tienen las mismas unidades y cuando NO tienen las mimas unidades. A continuación se muestran ejemplos que sirven para ilustrar lo anterior.

36 TÉCNICAS NUMÉRICAS PROPAGACIÓN DE ERRORES
Las medidas tienen las mismas unidades: Por ejemplo se mide tres veces la masa de un vidrio reloj y se determina su promedio Observe que la incertidumbre es también un promedio. 18,35 ± 0,01g 18,38 ± 0,01g 18,33 ± 0,01g ____________ 55,06 ± 0,03g / 3

37 TÉCNICAS NUMÉRICAS PROPAGACIÓN DE ERRORES
Las medidas tienen las mismas unidades: El promedio de la masa de una gota de metanol y el vidrio reloj arrojó un valor de 18,38 ± 0,01g. Si la masa del vidrio reloj vacío es de: 18,35 ± 0,01g, ¿cuál es la masa de una gota de metanol? 18,38 ± 0,01g ,35 ± 0,01g = 0,03 ± 0,02g Observe que las incertidumbres se suman y obedece a un protocolo.

38 TÉCNICAS NUMÉRICAS PROPAGACIÓN DE ERRORES
Protocolo en la incertidumbre. La incertidumbre porcentual total final debe indicarse con: no más de una cifra significativa si es igual o mayor que 2% y no más de dos cifras significativas si es menor que 2 %.

39 TÉCNICAS NUMÉRICAS PROPAGACIÓN DE ERRORES
Las medidas NO tienen las mismas unidades: Por ejemplo el promedio de medir la masa de 100,00 ± 0,01mL de agua arroja 99,87 ± 0,01g, ¿Cuál es su densidad? Como son unidades diferentes no podemos sumar las incertidumbres absolutas, por lo cual se utilizará la incertidumbre porcentual, la cual se obtiene mediante la siguiente ecuación y no tiene unidades Incertidumbre absoluta Incertidumbre porcentual = X 100% Valor medido ( o promedio)

40 TÉCNICAS NUMÉRICAS PROPAGACIÓN DE ERRORES

41 TÉCNICAS NUMÉRICAS PROPAGACIÓN DE ERRORES
Las medidas NO tienen las mismas unidades: Incertidumbre absoluta Incertidumbre % = X 100% Valor medido ( o promedio) 0,01 Incertidumbre % para el volumen = X 100% = 0,01% 100,00 Incertidumbre % para la masa = X 100% = 0,01% 99,87 Por lo tanto el resultado de la densidad sería=0,9987 ± 0,02%g/mL

42 TÉCNICAS NUMÉRICAS PROPAGACIÓN DE ERRORES
Las medidas NO tienen las mismas unidades: Exprese los siguientes datos con su incertidumbre porcentual: Incertidumbre absoluta Incertidumbre % = X 100% Valor medido ( o promedio) 8,00 ± 0,03mL 6,48 ± 0,01g 120 ± 0,20s 8,00 ± 0,38% 6,48 ± 0,15% 120 ± 0,17%

43 TÉCNICAS NUMÉRICAS PROPAGACIÓN DE ERRORES
Ejercicio de evaluación: Quiz 1 La determinación de la masa de un picnómetro de 5,00 ± 0,06mL lleno de etanol, arrojó los siguientes datos: 3,94 ± 0,01g; 3,92 ± 0,01g y 3,93 ± 0,01g. Determine la densidad del etanol expresando el valor con el número correcto de cifras significativas y la incertidumbre porcentual. Incertidumbre absoluta Incertidumbre porcentual = X 100% Valor medido ( o promedio)

44 TÉCNICAS NUMÉRICAS PROPAGACIÓN DE ERRORES
Para determinar la incertidumbre en un cronómetro esta se determina según el tiempo de arranque y detención del mismo. Si por ejemplo el promedio del arranque y detención del cronómetro es 20 centésimas, este valor se convierte a segundos quedando ± 0,2s.

45 TÉCNICAS NUMÉRICAS PROPAGACIÓN DE ERRORES – ejercicio de aplicación
Una alumna titula una solución alcalina con 0,991 ± 0,005 M HCl usando fenolftaleína como indicador en el marco de una investigación que busca determinar la fórmula de un hidróxido. Use la tabla siguiente incluida para encontrar la fórmula del compuesto incluyendo el trabajo pertinente con incertidumbres y diferencia porcentual.

46 Ensayos (volumen de solución alcalina: 25,0 ± 0,3 cm3)
TÉCNICAS NUMÉRICAS PROPAGACIÓN DE ERRORES – ejercicio de aplicación Tabla 1 Volumen usado de 0,991 M HCl para 25,00 cm3 de solución alcalina Ensayos (volumen de solución alcalina: 25,0 ± 0,3 cm3) 1 2 3 4 5 Volumen final ± 0,05 cm3 11,00 11,20 11,15 Volumen inicial ± 0,05 cm3 0,00 Volumen usado ± 0,1 cm3 11,0 11,2 Volumen promedio usado de ácido: 11,2 ± 0,1 cm-3 Masa de hidróxido = 2,80 ± 0,05 g (esta masa fue disuelta en un matraz aforado de 1dm3) Viraje observado del indicador: de rosa pálido a incoloro trabajando sobre un control