Tema 2. Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones

Índice Ecuaciones polinómicas (grado≥2) Ecuaciones racionales Ecuaciones con radicales Ecuaciones exponenciales Ecuaciones logarítmicas Sistemas lineales. Discusión. Método de Gauss Sistemas de ecuaciones no lineales Inecuaciones

1. Ecuaciones polinómicas Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de segundo grado Las soluciones de esta ecuación resultan de la fórmula siguiente:

1. Ecuaciones polinómicas Ecuaciones de segundo grado. Ejemplos Ecuación Segundo Grado.ggb Representación gráfica en Geogebra

1. Ecuaciones polinómicas Ecuaciones de tercer grado o mayor Para resolver este tipo de ecuaciones, Se halla una raíz x=a a través de Ruffini, de P(x) y se factoriza Si Q(x) es mayor que 2, se repite el proceso con Q(x)

1. Ecuaciones polinómicas Ecuaciones de tercer grado o mayor Las posibles soluciones o raíces enteras son: {1, -1, 2, - 2, 4, - 4} , Dividimos P(x) entre (x – 1) 𝑃 𝑥 = 𝑥−1 ·( 𝑥 2 +4𝑥+4) Como el resto es 0, podemos seguir dividiendo entre (x+2) 𝑃 𝑥 = 𝑥−1 · 𝑥+2 ·(𝑥+2) Como el resto vuelve a ser 0, seguimos dividiendo entre (x+2) 𝑷 𝒙 = 𝒙−𝟏 · 𝒙+𝟐 ·(𝒙+𝟐)

1. Ecuaciones polinómicas Ecuaciones de tercer grado o mayor. Ejemplos

1. Ecuaciones polinómicas Ecuaciones bicuadradas Cambio de variable Resolución de ecuación 2º grado second last Deshacer cambio No tiene solución en R

2. Ecuaciones racionales Son aquellas en las que aparecen fracciones algebraicas Hallar m.c.m. de los denominadores Dividir el m.c.m. entre los denominadores Multiplicamos por el numerador y resolvemos

3. Ecuaciones con radicales Son aquellas en las que la incógnita aparece dentro de un radical Un solo radical: se aísla en uno de los miembros de la ecuación y se elevan los dos términos al cuadrado. 2. Dos o más radicales: se realiza el paso 1 las veces necesarias

4. Ecuaciones exponenciales 1. Primer tipo: dos términos diferentes de cero -Buscamos las bases iguales -Si las bases no son iguales last

4. Ecuaciones exponenciales 2. Segundo tipo: más de dos términos diferentes de cero -Exponenciales con la misma base -Se realiza el cambio de variable -Resolver ecuación y deshacer el cambio last

5. Ecuaciones logarítimicas 1. Primer tipo: dos términos distintos de cero -Incógnita en o -Resolución de ecuación a través de Segundo tipo: más de dos términos distintos de cero -Utiliza las siguientes expresiones: last

5. Ecuaciones logarítimicas 2. Segundo tipo: más de dos términos distintos de cero Ejemplos: last

6. Sistemas lineales. Discusión Un sistema de m ecuaciones lineales (primer grado) con n incógnitas es un conjunto formado por m igualdades de la forma: Términos independientes Coeficientes last

6. Sistemas lineales. Discusión Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones: Sistemas de ecuaciones lineales Compatibles (tiene solución) Determinados (una única solución) Indeterminados (infinitas soluciones) Incompatibles (no tiene solución last

6. Sistemas lineales. Discusión Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones: - Sistemas compatible determinado - Sistema compatible indeterminado - Sistema incompatible Una única solución Infinitas soluciones 2 𝐸 1 − 𝐸 2 last No existe solución

7. Método de Gauss Forma eficaz de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en ir eliminando incógnitas de cada una de las ecuaciones propuestas: last

8. Sistema de ecuaciones no lineales Son todos aquellos que contienen al menos una ecuación no lineal last

9. Inecuaciones Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones formadas por las incógnitas y los números. Dos inecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones Algunos datos de interés respecto a los procedimientos para resolver ecuaciones: - Si se suma o se resta un mismo número a los dos miembros de la desigualdad, la solución no varía. - Si se multiplican o dividen los dos miembros de la desigualdad por un número positivo, la solución no varía. - Si se multiplican o dividen los dos miembros de la desigualdad por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. last

9. Inecuaciones Inecuación de primer grado con una incógnita Ejemplos: last

9. Inecuaciones Inecuación de segundo grado con una incógnita last

9. Inecuaciones Inecuación de segundo grado con una incógnita Método de resolución: 1º Se resuelve P(x) = 0 y se sitúan las soluciones en la recta real 2º Intervalos que resulten entre -∞ y + ∞ 3º Mirar signo de cada intervalo sustituyendo un valor del intervalo en P(x) 4º Se toman los intervalos que satisfagan la ecuación last

9. Inecuaciones 2. Inecuación de grado 3 o mayor Método de resolución: 1º Se reduce la expresión a P(x) > 0 (o los demás casos posibles) 2º Se factoriza el polinomio P(x) hallando las raíces 3º Se construya una tabla: 1ª columna = los factores del polinomio y 1ª fila las raíces e intervalos en recta real 4º Se calcula el signo de cada intervalo/factor sustituyendo un valor de cada intervalo last

9. Inecuaciones 3. Inecuaciones con fracciones algebraicas Mismo método de resolución que las inecuaciones de grado 3 o mayor ¡IMPORTANTE! Las raíces de todos los denominadores que hayan aparecido en la inecuación estarán SIEMPRE excluidas de la solución last

9. Inecuaciones 4. Sistema de inecuaciones lineales con una incógnita Se resuelve cada inecuación por separado Se representan todos los intervalos en la recta real La solución será la intersección entre dichos conjuntos last

9. Inecuaciones 5. Inecuaciones lineales con dos incógnitas Se puede reducir a la siguiente expresión: Se representa la recta Para ello se realiza una tabla con el par de valores (x,y) Se toma un punto cualquiera que no esté contenido en la recta y se sustituye en la inecuación: -Si dicho punto satisface la inecuación, el semiplano que contiene al punto es solución. En caso contrario, la solución es el semiplano que no contiene al punto. Se comprueba si la recta debe estar incluida en la solución last

9. Inecuaciones 5. Inecuaciones lineales con dos incógnitas Ejemplos: last

9. Inecuaciones 5. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas Mismo método de resolución que el sistema de inecuaciones con una incógnita. Se resuelve cada inecuación con dos incógnitas por separado: 1 semiplano por cada solución. La solución del sistema será la región común de las soluciones. Ejemplos: last