Prueba de Hipótesis

Logros Al terminar la sesión, el estudiante será capaz de: Tomar decisiones en el campo de su especialidad sobre la base del resultado obtenido mediante el procedimiento de prueba de hipótesis de un parámetro, reconociendo el rigor científico de este procedimiento.

Temario Introducción a las Pruebas de Hipótesis. Conceptos Fundamentales. Tipos de hipótesis Prueba de hipótesis para un parámetro.

Introducción a las Pruebas de Hipótesis. 1 Introducción a las Pruebas de Hipótesis.

Caso 1. Todos los meses llegan lotes de lapiceros de punta fina (cod:0039) a una empresa. Se devolverán los lotes, si estos presentan mas de 2% de lapiceros defectuosos. ¿Qué decisión debe tomar la empresa? Departamento de Control de Calidad lote ¿Cómo debe llevar a cabo la decisión? 5

Caso 2. El bolígrafo modelo supermétrico ofrece mayor duración, pero puede presentar exceso de tinta por lo cual se ha establecido como especificación que el contenido promedio de las cargas de tinta debe ser menor a 7 mililitros. Sólo se aceptaran lotes que cumplan la especificación. ¿Qué decisión debe tomar la empresa? Departamento de Control de Calidad lote ¿Cómo debe llevar a cabo la decisión? 6

Prueba de Hipótesis (PH) Es un procedimiento que nos permite verificar una afirmación elaborada sobre algún parámetro de una o mas poblaciones. La hipótesis que se contrasta se llama hipótesis nula (H0). Si se rechaza la hipótesis nula se acepta la hipótesis alternante (H1) como verdadera. Si no se rechaza la hipótesis nula suponemos que nuestra estimación inicial del parámetro poblacional podría ser correcto.

Hipótesis del investigador Tipos de hipótesis Status Quo =, , ≤ Hipótesis Nula (Ho) Ho: p≤0,02 Contrarias Hipótesis del investigador ≠, <, > Hipótesis Alternante (H1) H1: p > 0,02 8

A favor de H1: Devolver el lote Conceptos generales Decisión Estadística Rechazar Ho (RHo) No Rechazar Ho (NRHo) A favor de H1: Devolver el lote No existe evidencia para estar a favor de H1: No devolver el lote La información que nos da la muestra es suficiente para decir que el % de defectuosos en el lote es mayor al 2%. La información que nos da la muestra no es suficiente para decir que el % de defectuosos en el lote es mayor al 2%. 9

Tipos de Errores Rechazar Ho No rechazar La realidad Ho: verdadera Error tipo I Decisión correcta Ho: falsa Error tipo II 10

Nivel de significación: α Probabilidades de cometer error Nivel de significación: α 1-β=Probabilidad de Rechazar Ho cuando es falsa Potencia de la prueba 11

Potencia de la Prueba o Poder de Prueba Es la probabilidad de rechazar una hipótesis nula cuando esta es falsa. Potencia de prueba = 1- El valor de la potencia de prueba, depende del parámetro, no puede ser fijado, sin embargo se puede asumir un conjunto de valores del parámetro y para cada uno de ellos hallar el valor de la potencia de prueba. La curva que se genera se conoce como Curva de potencia. La potencia de la Prueba es la probabilidad de ocurrencia de valores del estadístico en la región de rechazo bajo el supuesto que H1 (la Hipótesis Alternativa) sea verdadera.

Ejemplo Supongamos que la probabilidad verdadera de ocurrencia de "cara" es igual a 0.8. Tenemos: La probabilidad de ocurrencia de los valores de la región de rechazo bajo el supuesto de que la Hipótesis Alternativa sea verdadera es igual a 0,38 (ver columna verde en la siguiente tabla. 0,38 es igual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de 0, 1, 9 o 10 caras)

Principales características de la Potencia de la Prueba (1-β) El valor de la potencia es complementario al de beta (probabilidad de cometer errores de tipo II), cuanto menor es alfa, mayor es beta, y viceversa. Los valores de alfa y 1-beta están relacionados. Cuanto mayor sea alfa, mayor es 1-beta. El valor de la potencia depende de la verdadera posición del parámetro, que es desconocida, pero podemos tomar medidas que generalmente la incrementan.

Curva Característica de Operación La curva característica de operación, representa gráficamente la relación existente entre un porcentaje de artículos defectuosos de un lote productivo (que por lo general se desconoce) y la probabilidad de aceptación que se obtiene del mismo, luego de aplicar un plan de muestreo. Cuando la calidad de un lote es "buena" tanto al productor como al consumidor les interesa aceptar el lote con alta probabilidad. Por el contrario cuando la calidad de un lotes es "mala" especialmente al consumidor le interesa rechazar el lote la mayoría de las veces

Ejemplo: Curva Característica de Operación Consideremos un plan de muestreo que está definido por N=1000 y (n,c)=(80,4). Se requiere trazar la curva característica de operación para distintos valores de p (porcentaje de artículos defectuosos). Con el apoyo de una hoja de cálculo trazar la curva de operación es sencillo como se muestra en la siguiente imagen:

Tipos de pruebas de hipótesis Prueba bilateral o de dos colas 17

Tipos de pruebas de hipótesis Prueba unilateral Cola a la derecha Cola a la izquierda 18

Pasos en una Prueba de Hipótesis Planteo de la hipótesis. Pruebas unilaterales Unilateral izquierda Unilateral derecha Prueba bilateral

Pasos en una Prueba de Hipótesis 0,05 0,10 0,01 Nivel de significación Prueba estadística: Simétrica Z y T Asimétrica 2 y F Supuestos: Muestra(s) tomada(s) al azar. Poblacion(es) normalmente distribuida(s) α

Pasos en una Prueba de Hipótesis 4. Regiones críticas y criterios de decisión. Zona de rechazo de H0. Zona de rechazo de H0. Zona de rechazo de H0. Unilateral izquierda o inferior Unilateral derecha o superior Bilateral

Pasos en una Prueba de Hipótesis Cálculos: Mediante la estadística de prueba, determinar el valor calculado: Zc, tc, 2c, Fc. Conclusiones (Interpretación, toma de decisión).

Prueba de hipótesis para m Caso 1: s 2 conocida Unilateral izquierda Bilateral derecha H0: m ≥ m0 H0: m = m0 H0: m ≤ m0 H1: m < m0 H1: m ≠ m0 H1: m >m0 Estadístico de prueba: Cuando N es conocida. Supuestos: población normal, muestra al azar. 23

Ejemplo 1 Lock Motors, una nueva marca de autos, decidirá fabricar su nuevo diseño 2016, si logra probar, con un nivel de significación del 2%, de que el precio promedio que el público estaría dispuesto a pagar por la versión Full- Elegance , es más de US$ 35,00 (miles de US dólares). Suponga que el precio de los autos se distribuyen normalmente con una desviación estándar de US$ 10,00 (miles de US dólares) ¿Esta afirmación se sustenta si una muestra de 25 autos tiene una media de US$ 37,97 (miles de US dolares) y una desviación estándar de US$ 12,87? Asuma normalidad.

Solución Hipótesis α =0,02 Estadística de prueba: Z Regiones críticas y criterios de decisión. Cálculos Conclusiones:

Prueba de hipótesis para m Caso 2: s 2 desconocida Unilateral izquierda Bilateral derecha H0: m ≥ m0 H0: m = m0 H0: m ≤ m0 H1: m < m0 H1: m ≠ m0 H1: m >m0 Estadístico de prueba: Cuando N es conocida. Supuestos: población normal, muestra al azar. 26

Ejemplo 2 El laboratorio PAE establece un límite de 5 ppm para la concentración de PCB (una sustancia peligrosa) en el agua. Una empresa manufacturera importante produce PCB como aislante eléctrico y descarga pequeñas cantidades de su planta. La gerencia de la compañía, en un intento por controlar la cantidad de PCB en sus descargas, ha dado instrucciones de parar la producción si la cantidad media de PCB en el efluente es mayor que 3 ppm. Un muestreo aleatorio de 50 especímenes de agua produjo las siguientes estadísticas: promedio= 3,1 ppm y Desviación Estándar= 0,5 ppm. ¿Proporcionan tales estadísticas suficientes pruebas para detener el proceso? Utilice α= 0,01 .

Solución Hipótesis α =0,01 Estadística de prueba: t Regiones críticas y criterios de decisión. Cálculos Conclusiones:

Prueba de hipótesis para s 2 Unilateral izquierda Bilateral derecha H0: s 2 ≥ s 20 H0: s 2 = s 20 H0: s 2 ≤ s 20 H1: s 2 < s 20 H1: s 2 ≠ s 20 H1: s 2 > s 20 Estadístico de prueba: Supuestos: población normal, muestra al azar. 29

Ejemplo 3 Un químico ha desarrollado un material plástico que, según él, tiene una resistencia media a la ruptura superior a 29 onzas por pulgada cuadrada. Para comprobar la bondad del método se tomaron 20 láminas de plástico y se mide la resistencia a la ruptura de cada lámina. Los resultados se muestran a continuación: Al nivel de significación α=0,05 y suponiendo normalidad: ¿se admite la hipótesis del químico? ¿será correcto afirmar que la variabilidad de la resistencia es menor de 4,2 onzas? 30,1 32,7 22,5 27,5 28,9 27,7 29,8 31,4 30,4 27,0 31,2 24,3 26,4 22,8 29,4 22,3 29,1 33,4 23,5

Prueba de hipótesis para p Unilateral izquierda Bilateral derecha H0: p ≥ p0 H0: p = p0 H0: p ≤ p0 H1: p < p0 H1: p ≠ p0 H1: p > p0 Estadístico de prueba: Supuesto: muestra al azar (n ≥ 50). 31

Ejemplo 4 Una empresa afirma que los lotes de cierto producto contienen 2% de artículos defectuosos. a) Si se elige una muestra de 100 artículos de dicho lote, y resulta que 8 son defectuosos, ¿es válida la afirmación de la empresa? Utilice un nivel de significancia de 0,05. b) Ahora considere que la población es de 1000 artículos y realice la prueba.

Evaluación Los siguientes casos corresponden a situaciones que requieren ser evaluadas para tomar decisiones operativas; se le pide plantear las hipótesis nula y alternante: El peso promedio de los pollos de Avícola San Bernardo es de 1800 gramos. El ingeniero Suarez sospecha que la nueva formula alimenticia implementada en su gestión ha logrado incrementar el peso de las aves. Una fábrica de detergente envasado bolsas de medio kilo (500 gramos). El jefe de control de calidad desea determinar si el proceso de envasado se encuentra bajo control (cumple lo especificado). Una empresa de confecciones produce polos para exportación; su mejor cliente condiciona la siguiente compra a que el lote contenga menos de 3% de defectuosos. ¿Realizará el nuevo pedido?

Evaluación En todos los casos contestar lo siguiente: Ho: µ = 500 H1: µ ≠ 500 α= 0,05 n= 100 Zcal=1,25 Ho: µ ≥ 1500 H1: µ < 1500 α= 0,06 n= 25 Tcal=-1,94 Ho: p ≥ 0,1 H1: p < 0,1 α= 0.05 n= 200 Zcal= 3,12 Ho:δ2 = 3,55 H1:δ2 ≠ 3,55 α = 0,05 n= 15 Χ2cal= 36,22 En todos los casos contestar lo siguiente: Valor crítico es: ______________ La decisión es: _______________

Material producido para el curso Estadística Aplicada II Autor: Colectivo de Docentes COLOQUE AQUÍ EL NOMBRE DEL CURSO - PREGRADO COPYRIGHT © UPC 2016